已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, n a_{n+1}-(n+1) a_{n}=1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ 2 a_{n+1}, n \text { 为偶数，}\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 100 项和．