单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\overrightarrow{P F_1} \cdot \overrightarrow{P F_2}=0$ ，则 $\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right|=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知 $O$ 是平面上的一定点，$A, B, C$ 是平面上不共线的三个动点，若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ， $\lambda \in(0,+\infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的
$\text{A.}$
$\text{B.}$ 内心
$\text{C.}$ 外心
$\text{D.}$ 重心
$\text{E.}$ 垂心
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}$ ，则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的形状一定是 $\qquad$三角形．
$\text{A.}$ 等边
$\text{B.}$ 等腰
$\text{C.}$ 直角
$\text{D.}$ 等腰直角
若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的任意一点，且满足 $(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) \cdot(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A})=0$ ，则 $\triangle A B C$ 的形状为（ ）
$\text{A.}$
$\text{B.}$ 等腰三角形
$\text{C.}$ 直角三角形
$\text{D.}$ 等边三角形
$\text{E.}$ 等腰直角三角形
已知菱形 $ A B C D$ 的边长为 $6, \angle A B D=30^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别在边 $B C, D C$ 上，且 $B C=2 B E, C D=\lambda C F$ ．若 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}=-9$ ，则 $\lambda$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
等腰直角三角形 $ A B C$ 中，$\angle A C B=\frac{\pi}{2}, A C=B C=2$ ，点 $P$ 是斜边 $A B$ 上一点，且 $B P=2 P A$ ，那么 $\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{C A}+$ $\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{C B}=(\quad)$
$\text{A.}$
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
$\text{E.}$ 4
如图，正六边形 $ A B C D E F$ 的边长为 2 ，动点 $M$ 从顶点 $B$ 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 $F$ ，若 $\overrightarrow{F D} \cdot \overrightarrow{A M}$的最大值和最小值分别是 $m, n$ ，则 $m+n=()$
$\text{A.}$
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 11
$\text{E.}$ 12
在 $\triangle A B C$ 中，$A=\frac{\pi}{3}, G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心，若 $\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{A C}=6$ ，则 $\triangle A B C$ 外接圆的半径为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $2 \sqrt{3}$
如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形 $ A B C D$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，则 $AE \cdot BF=$
$\text{A.}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 6
$\text{E.}$ 8
已知点 $P$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上，点 $A$ 的坐标为 $(-2,-1), O$ 为坐标原点，则 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{A P}$ 的最小值等于（ ）
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $5-\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $5+\sqrt{5}$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
已知点 $O$ 是边长为 1 的正方形 $ A B C D$ 的中心，则下列结论正确的为（ ）
$\text{A.}$ $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B O}>0$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{B O}$
$\text{D.}$ $|2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=\sqrt{5}$
折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则（ ）
$\text{A.}$ $\overrightarrow{E H} / / \overrightarrow{F C}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B E}=0$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{E G}=\overrightarrow{E H}+\overrightarrow{E F}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E H}=\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在正方形 $A B C D$ 中，$E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，求证：$A F \perp D E$ ．
已知 $\boldsymbol{a}=(\cos x, 2 \cos x), \boldsymbol{b}=(2 \cos x, \sin x), f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ．
（1）将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 的单调增区间；
（2）当 $\boldsymbol{a} \neq 0, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线时，求 $f(x)$ 的值．
（3）求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的最大值．
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b$ ，$c$ ．已知向量 $\vec{m}=(\sqrt{3} b, \sqrt{3} c-2 a), \vec{n}=(\cos C, \cos B)$ ，且 $ {m} \perp {n}$ ．
（1）求 $B$ ；
（2）若 $\sin A+\cos C=\sqrt{3}$ ，且 $a=3 \sqrt{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．
（1）已知向量 $\overrightarrow{O A}=(k, 12), \overrightarrow{O B}=(4,5), \overrightarrow{O C}=(10, k)$ ，且 $A, B, C$ 三点共线，当 $k < 0$ 时，若 $k$ 为直线的斜率，则过点 $(2,-1)$ 的直线方程为
（2）若点 $O$ 和点 $F$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的中心和左焦点，点 $P$ 为植圆上的任意一点，则 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$ 的最大值为