解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X$ 服从二项分布 $B(m, p)$ ，其中 $m, p$ 为未知参数， （ $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ）为抽自 $X$ 的样本，求 $m$ 和 $p$ 的矩估计。
设总体 $X$ 服从几何分布，概率分布为
$$
P(X=x)=p(1-p)^{x-1}, \quad x=1,2, \cdots,
$$
其中 $p(0 < p < 1)$ 为未知参数，$\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为抽自 $X$ 的样本，求 $p$的矩估计和最大似然估计。
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为从总体 $X$ 中抽取的样本，$X$ 的密度函数为
$$
p(x ; \theta)= \begin{cases}(\theta+1) x^\theta & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中 $\theta>-1$ 为未知参数，求 $\theta$ 的矩估计和最大似然估计．
设总体 $X$ 服从均匀分布 $U\left[\theta-\frac{1}{2}, \theta+\frac{1}{2}\right]$ ，其中 $\theta$ 为未知参数，$\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为抽自 $X$ 的样本，求 $\theta$ 的最大似然估计．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为抽自总体 $X$ 的样本，$E X=\mu, \alpha_i(i=1$ ， $2, \cdots, n)$ 为常数，且 $\sum_{i=1}^n \alpha_i=1$ ，证明：
（1）$\sum_{i=1}^n \alpha_i X_i$ 是 $\mu$ 的无偏估计；
（2）在 $\mu$ 的所有形如 $\sum_{i=1}^n \alpha_i X_i$ 的线性无偏估计中，以 $\bar{X}$ 为最有效．
设总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布，$\theta$ 为未知参数，样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 来自总体 $X$ ，证明：
$$
\hat{\theta}_1=(n+1) \min \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)
$$
是 $\theta$ 的无偏估计，并比较它与 $\hat{\theta}_2=\frac{n+1}{n} \max \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的有效性。
从正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中先后抽取 $k$ 个样本，容量分别为 $n_i$ ．记各自的样本均值为 $\bar{X}_i, i=1,2, \cdots, k$ ，若以 $\bar{X}_i$ 的加权平均 $\hat{\mu}=\sum_{i=1}^k W_i \bar{X}_i$ 作为 $\mu$ 的估计，问权系数 $W_i$ 应如何分配？
为估计某零件的长度，从工厂产品库中随机抽取 14 个零件，测得长度为（单位： cm ）： $500.90,490.01,501.63,500.73,515.87$ ， $511.85,498.39,514.23,487.96,525.01,509.37,509.43,488.46$ ， 497．15．由经验知道，该零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，
（1）若已知 $\sigma^2=16$ ，求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；
（2）若 $\sigma^2$ 未知，求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；
（3）求 $\sigma^2$ 的置信度为 0.95 的置信区间．
为比较甲，乙两个水稻品种的亩产量，选择了 25 块试验田，其中 13 块采用甲品种，其余 12 块采用乙品种，采用相同的耕作方式，收成结果为（500 克／亩）：
$$
\begin{aligned}
& \text { 甲: } 880,1120,980,885,828,927,924,942,766,1180,780,1063,650 ; \\
& \text { 乙: } 940,1142,1020,785,645,780,1180,680,810,824,846,780 ;
\end{aligned}
$$
在置信度 0.95 下，求甲，乙水稻品种平均亩产量之差的置信区间
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的普阿松分布，对 $X$ 进行 100 次观察，表 8－3 所列的是各观察值以及出现的频率：
求 $\lambda$ 的置信度为 0.95 的置信区间．
设总体 $X$ 服从对数正态分布， $\ln X \sim N(\mu, 0.64), 4.95$ ， $1.73,10.07,9.78,14.15,4.14,1.52,11.70,6.62,10.38$ 是来自 $X$ 的样本观察值，求：
（1）$X$ 的数学期望 $\alpha$ ；
（2）$\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；
（3）$\alpha$ 的置信度为 0.95 的置信区间。
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为从 $X$ 中抽取的样本，证明 $\left(\min _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i, \max _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i\right)$ 为 $\mu$ 的置信度为 $1-\frac{1}{2^{n-1}}$ 的置信区间。