填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为可逆矩阵， $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 为分块矩阵，则 $\boldsymbol{X}^{-1}=$
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足关系式： $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right)$ ，则 $B=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^3$ 的秩为
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n\end{array}\right)$ ，其中 $a_i \neq 0, b_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$的秩 $r(\boldsymbol{A})=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)$ ，且秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=3$ ，则 $k=$
设 4 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，则其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的秩为
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，而 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $r(\boldsymbol{A B})=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$（ $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵），$|\boldsymbol{A}| < $ 0 ，求 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^{\cdot}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$ ，求行列式 $\left|(3 \boldsymbol{A})^{-1}-2 \boldsymbol{A}^{\cdot}\right|$ 的值．
已知 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^5$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right)$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位阵，满足 $\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{B}$ ，又知 $\boldsymbol{A}= \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), 3$ 阶方阵 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 满足
$$
A X B^{-1}-A Y B^{-1}=E, X Y-Y^2=E .
$$
其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\boldsymbol{Y}$ ．