单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，则出现＂正面向上的点数大于 3 ＂的概率为 ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
样本数据 $5,7,13,27,38$ 的平均数为 ．
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 13
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 20
直线 $a, b$ 互相平行的一个充分条件是 ．
$\text{A.}$ $a, b$ 都平行于同一个平面
$\text{B.}$ $a, b$ 都垂直于同一个平面
$\text{C.}$ $a$ 垂直于 $b$ 所在的平面
$\text{D.}$ $a$ 平行于 $b$ 所在的平面
设一组样本数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的方差为 4 ，则数据 $2 x_1-1,2 x_2-1, \cdots, 2 x_n-1$ 的方差为 ．
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 32
如图，$A_1, A_2$ 两类不同的元件并联成一个系统．当 $A_1, A_2$ 至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知 $A_1, A_2$ 正常工作的概率分别为 $0.9,0.8$ ，则系统正常工作的概率为
$\text{A.}$ 0.98
$\text{B.}$ 0.26
$\text{C.}$ 0.72
$\text{D.}$ 0.02
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=A D=2 \sqrt{3}, A A_1=2$ ，则直线 $A D_1$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
下列说法不正确的是
$\text{A.}$ 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
$\text{B.}$ 空间不重合的三个平面可以把空间分成 4 或 6 或 7 或 8 个部分
$\text{C.}$ 三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点
$\text{D.}$ 四面体 $P-A B C$ 的三条侧棱 $P A, P B, P C$ 两两垂直，则点 $P$ 在平面 $A B C$ 的射影为 $\triangle A B C$ 的垂心
从正方体的 12 条棱中任选 2 条，则这两条棱所在的直线是异面直线的概率为 ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{11}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{11}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{11}$
已知事件 $A, B$ ，且 $P(A)=0.5, P(B)=0.2$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P(A \bigcup B)=0.2, ~ P(A B)=0.5$
$\text{B.}$ 如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P(A \bigcup B)=0.7, P(A B)=0$
$\text{C.}$ 如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P(A \bigcup B)=0.7, P(A B)=0$
$\text{D.}$ 如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P(\overline{A B})=0.4, P(\overline{A B})=0.4$
下列说法正确的是 ．
$\text{A.}$ 极差和标准差都可以刻画样本数据的离散程度
$\text{B.}$ 若数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的方差为 0 ，则所有的 $x_i(i=1,2, \cdots, n)$ 都相同
$\text{C.}$ 如果一组数据的中位数比平均数大很多，这组数据的众数不可能和中位数相同
$\text{D.}$ 从有 $N$ 个个体的总体中抽取容量为 $n(n < N)$ 的样本，当选取简单随机抽样、按比例分配的分层抽样时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_1, p_2$ ，则 $p_1 < p_2$
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 1 ，点 $P, Q$ 分别在线段 $A_1 D, A C$ 上运动（包括端点），则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 正方体经过 $P, Q$ 两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形
$\text{B.}$ $P Q$ 不可能与 $A_1 D, A C$ 都垂直
$\text{C.}$ $P Q$ 有可能与正方体六个表面所成的角都相等
$\text{D.}$ 线段 $P Q$ 的中点 $M$ 所围成区域的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为
某次体检， 10 位同学的身高（单位：米）分别为 $1.57,1.59,1.62,1.64,1.65,1.66,1.68,1.70,1.72$ ， 1.73 ，则这组数据的第 60 百分位数是 $\_\_\_\_$ （米）
甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$ ，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分为 2 的概率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B=A C, D, E$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 上的点（点 $D$ 异于点 $B, C$ ），且 $A D \perp D E, F$ 为 $B_1 C_1$ 的中点．
（1）求证：$A D \perp$ 平面 $B C C_1 B_1$ ；
（2）求证：直线 $A_1 F / /$ 平面 $A D E$ ．
从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频率分布表．
（1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均值及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．
现设 $n=3$ ，分别以 $a_1, a_2, a_3$ 表示第一次排序时被排为 $1,2,3$ 的三种酒在第二次排序时的序号，$\left\{a_1, a_2, a_3\right\}=\{1,2,3\}$ ，并令 $X=\left|a_1-1\right|+\left|a_2-2\right|+\left|a_3-3\right|$ ，则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述，若两轮测试都有 $X=0$ ，则该品酒师被授予＂特级品洒师＂称号；若两轮测试都有 $X \leq 2$ ，且至少有一轮测试出现 $X \neq 0$ ，则该品酒师被授予＂一级品酒师＂称号．
（1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的 $a_1, a_2, a_3$ 排序结果，并求出相应的 $X$ 值；
（2）没有酒味鉴别能力的品酒师甲参加了一轮测试，记事件 $A=$＂甲的测试结果 $X=0$＂，$B=$＂甲的测试结果 $X=2$＂，用集合的形式表示事件 $\overline{A \bigcup B}$ 和 $\bar{A} \cap \bar{B}$ 后可以发现 $\overline{A \bigcup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$ ，请证明：对于任意的随机事件 $A$ 和 $B$ 都有：$\overline{A \bigcup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$ ；
（3）没有酒味鉴别能力的品酒师甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件 $E=$＂在这两年中甲至少有一次被授予一级品酒师称号＂，求 $P(E)$ ．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, A D \perp C D, A D / / B C, P A=A D=C D=2, B C=3$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在线段 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C}=\frac{1}{3}$ ．
（1）求证：平面 $P C D \perp$ 平面 $P A D$ ；
（2）给出二面角 $F-A E-P$ 的平面角，并说明理由，求出二面角 $F-A E-P$ 的余弦值；
（3）设点 $G$ 在线段 $P B$ 上，且 $\frac{P G}{P B}=\frac{2}{3}$ ，点 $A, E, F, G$ 是否共面？如 $A, E, F, G$ 四点共面，请证明：如果不共面，请说明理由．
将连续正整数 $1,2,3, \cdots, n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 从小到大排列构成一个数 $123 \cdots n, F(n)$ 为这个数的位数，例如，当 $n=12$ 时，此数为 123456789101112 ，共有 15 个数字，则 $F(12)=15$ ，现从这个数中随机取一个数字，$P(n)$ 为恰好取到 0 的概率．
（1）求 $F(101), P(101)$ ；
（2）当 $n \leq 2025$ 时，求 $F(n)$ 的表达式；
（3）令 $f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$h(n)=f(n)-g(n)$ ， $S=\left\{n \mid h(n)=1, n \leq 100, n \in \mathbf{N}^*\right\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $P(n)$ 的最大值．