张宇《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布基础训练

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张宇《概率论与数理统计》一维随机变量及其分布基础训练

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是连续型随机变量

X

的概率密度,

F (x)

为其分布函数, 则

A.

0 ⩽ f (x) ⩽ 1

B.

P {X = x} ⩽ F (x)

C.

P {X = x} = F^{'} (x)

D.

P {X = x} = f (x)

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2. 设

F (x)

是随机变量

X

的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).

A.

F^{2} (x)

B.

F^{3} (x)

C.

F (2 x)

D.

2 F (x)

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3. 下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).

A.

f_{1} (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < \frac{π}{2}, \\ 0, & 其他 \end{cases}

B.

f_{2} (x) = {\begin{cases} \sin x, & - \frac{π}{2} ⩽ x < 0, \\ 0, & 其他 \end{cases}

C.

f_{3} (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < π, \\ 0, & 其他 \end{cases}

D.

f_{4} (x) = {\begin{cases} 1 - \sin x, & 0 ⩽ x < \frac{π}{2}, \\ 0, & 其他 \end{cases}

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4. 设随机变量

X

的分布函数

F (x) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 ⩽ x < 1, 则 P {X = 1} = () . \\ 1 - e^{- x}, & x ⩾ 1, \end{cases}

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2} - e^{- 1}

D.

1 - e^{- 1}

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5. 已知离散型随机变量

X

的分布律为

P {X = k} = p^{k + 1} (k = 0, 1)

, 则

p = ()

A.

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

B.

\frac{\sqrt{5} + 1}{4}

C.

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

D.

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

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6. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度,

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度, 若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), & x ⩽ 0, \\ b f_{2} (x), & x > 0 \end{cases}, (a > 0, b > 0)

为概率密度, 则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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7. 设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = \frac{1}{π (1 + x^{2})} (- \infty < x < + \infty)

, 则

Y = 2 X

的概率密度为

f_{Y} (y) =

A.

\frac{1}{π (1 + 4 y^{2})}

B.

\frac{1}{π (4 + y)^{2}}

C.

\frac{2}{π (4 + y^{2})}

D.

\frac{2}{π (1 + y^{2})}

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} 2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & 其他. \end{cases}

以

Y

表示对

X

的三次独立重复观察中事件

{X ⩽ \frac{1}{2}}

出现的次数, 则

P {Y = 2} =

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 设

X \sim f (x) = {\begin{cases} A x, & 1 < x < 2, \\ B, & 2 ⩽ x < 3, 且 P {1 < X < 2} = P {2 < X < 3} . \\ 0, & 其他, \end{cases}

求: 常数

A, B

; 分布函数

F (x); P {2 < X < 4}

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10. 假设测量的随机误差

X \sim N (0, 10^{2})

, 求在 100 次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率

α

, 并利用泊松分布求出

α

的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。注:

Φ (1.96) = 0.975

, 另附表

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11. 设

X \sim E (\frac{1}{5})

, 令

Y = min {X, 2}

, 求

Y

的分布函数

F (y)

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12. 设

X

是连续型随机变量, 其概率密度为

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{6}, & 0 ⩽ x < 3, \\ \frac{1}{4}, & 3 ⩽ x < 5, \\ 0, & 其他, \end{cases}

且

Y = {\begin{cases} 0, & X < 1, \\ 1, & 1 ⩽ X < 4, \\ 2, & X ⩾ 4 . \end{cases}

求

Y

的分布律和分布函数.

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