单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续型随机变量 $X$ 的概率密度, $F(x)$ 为其分布函数, 则
$\text{A.}$ $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$
$\text{B.}$ $P\{X=x\} \leqslant F(x)$
$\text{C.}$ $P\{X=x\}=F^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ $P\{X=x\}=f(x)$
设 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F^3(x)$
$\text{C.}$ $F(2 x)$
$\text{D.}$ $2 F(x)$
下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).
$\text{A.}$ $f_1(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_2(x)= \begin{cases}\sin x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x < 0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_3(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_4(x)= \begin{cases}1-\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \text {, 则 } P\{X=1\}=(\quad) . \\ 1- e ^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}- e ^{-1}$
$\text{D.}$ $1- e ^{-1}$
已知离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=k\}=p^{k+1}(k=0,1)$, 则 $p=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度, 若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array},(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)$, 则 $Y=2 X$ 的概率密度为 $f_Y(y)=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{\pi\left(1+4 y^2\right)}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\pi(4+y)^2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\pi\left(4+y^2\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{\pi\left(1+y^2\right)}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
以 $Y$ 表示对 $X$ 的三次独立重复观察中事件 $\left\{X \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ 出现的次数, 则 $P\{Y=2\}=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X \sim f(x)= \begin{cases}A x, & 1 < x < 2, \\ B, & 2 \leqslant x < 3, \text { 且 } P\{1 < X < 2\}=P\{2 < X < 3\} . \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$求: 常数 $A, B$; 分布函数 $F(x) ; P\{2 < X < 4\}$.
假设测量的随机误差 $X \sim N\left(0,10^2\right)$, 求在 100 次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 $\alpha$, 并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。注: $\Phi(1.96)=0.975$, 另附表
设 $X \sim E \left(\frac{1}{5}\right)$, 令 $Y=\min \{X, 2\}$, 求 $Y$ 的分布函数 $F(y)$.
设 $X$ 是连续型随机变量, 其概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{6}, & 0 \leqslant x < 3, \\ \frac{1}{4}, & 3 \leqslant x < 5, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
且
$$
Y= \begin{cases}0, & X < 1, \\ 1, & 1 \leqslant X < 4, \\ 2, & X \geqslant 4 .\end{cases}
$$
求 $Y$ 的分布律和分布函数.