【40006】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 解答题 已知函数 $f(x)=x^2 \ln x+a$ ，记 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数． （1）若 $f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2 \mathrm{e}}$ ． （i）求实数 $a$ 的值； （ii）若 $x_1<x_2, f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right)$ ，证明：$x_1 x_2^3<\mathrm{e}^{-5}$ ． （2）是否存在 $a>0$ ，使得 $g(x)=f(x)-a \ln x$ 的最小值为 $\mathrm{e}^2$ ？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．

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【40005】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 解答题 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左焦点为 $F(-1,0)$ ，直线 $y=k x(k \neq 0)$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点． （1）求 $|F P|+|F Q|$ 的值． （2）若点 $M$ 在椭圆上（与点 $P, Q$ 不重合），直线 $M P$ 的斜率与直线 $M Q$ 的斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2$ ． （i）求证：＂$k k_1=-1$＂的充要条件是＂$k=2 k_2$＂； （ii）若 $k=2 k_2$ ，求 $\triangle M P Q$ 面积的最大值．

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【40004】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $3\left(S_n+n\right)$ 与 2 的等差中项是 $2\left(a_n+1\right)$ ． （1）求证：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列； （2）记 $T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ ，试判断 $T_n$ 与 $\frac{2\left(3 a_n+2\right)}{5\left(a_n+1\right)}$ 的大小关系，并给出证明．

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【40003】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 解答题 某高校人工智能实验室组织＂AI 编程挑战赛＂，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为 $\frac{1}{4}$ ；系统乙：每次抽奖中奖概率为 $\frac{1}{2}$ ；系统丙：每次抽奖中奖概率为 $\frac{1}{2}$ ．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． （1）若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． （2）若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖 3 次，则奖励价值 60 元的 AI 学习包；若中奖 2 次，则奖励价值 35 元的 AI 学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖 3 次，中奖次数决定奖励价值，若中奖 3 次，则奖励价值 80 元的 AI 学习包；若中奖 2 次，则奖励价值 50 元的 AI 学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得 AI 学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案．

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【40002】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 解答题 如图，$\triangle A B C$ 是斜边 $A B=2 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，正三角形 $P A C$ 所在平面与三角形 $A B C$ 所在平面垂直，梯形 $B C M N$ 中，$M N / / B C, B N \perp B C, B N=\sqrt{3}, M N=1$ ，且梯形 $B C M N$ 所在平面与三角形 $A B C$ 所在平面垂直． （1）求证：平面 $P M N / /$ 平面 $A B C$ ； （2）求平面 $P M C$ 与平面 $P A N$ 夹角的余弦值． [img=/uploads/2026-05/f5d6fc.jpg][/img]

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【40001】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 填空题 将 6 枚硬币正面朝上排成一行，按照下列规则操作每一次的动作：抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为 $k$ ，则将排成一行的这 6 枚硬币最左边的 $k$ 枚硬币都翻转一次．进行三次操作后， 6 枚硬币中恰有 2 枚硬币正面朝上的概率为

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【40000】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 填空题 写出一个同时满足下列条件（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ 的解析式：$f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．（答案不唯一） （1）$f^{\prime}(x)=2 x-4$ ；（2）$f(x)$ 恰有两个不同的零点；（3）$f(1) \leqslant 0$

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【39999】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 填空题 $\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)^6$ 的展开式的第四项为

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【39998】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 多选题 已知抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2, l_1$ 与 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点，$l_2$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，$P Q$ 的中点为 $G, M N$ 的中点为 $H$ ，则

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【39997】 【 作业帮2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷A卷】 多选题 已知函数 $f(x)=\cos x, x \in\left[a-\frac{\pi}{6}, a+\frac{\pi}{6}\right]$ ，其中 $a$ 是常数，则

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