【38720】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 设 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}$ ，其中 $t>0$ ．已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续， 又设 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z$. （1）求证：$F(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，并求 $F^{\prime}(t)$ 的表达式； （2）设 $f(0) \neq 0$ ，求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{1-\lambda} F^{\prime}\left(\frac{1}{n}\right)$ 在 $\lambda>0$ 时收敛，$\lambda \leq 0$ 时发散．

---

【38719】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $d z=2 x d x-2 y d y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ．求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．

---

【38718】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x^3 d y d z+\left[y f(y z)+y^3\right] d z d x+\left[z^3-z f(y z)\right] d x d y$ ，其中函数 $f$ 有连续的导函数，$\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧．

---

【38717】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=8\left(1+e^{2 x}\right)$ 的通解．

---

【38716】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{3^n n}$ 的收敛域与和函数．

---

【38715】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0 . y \geq 0\right\}$ ．计算二重积分： $\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} d x d y$

---

【38714】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，在点 $(1,-2,1)$ 的切线和法平面方程．

---

【38713】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 解答题 设 $z=f(x+\varphi(x-y), y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$\varphi$ 有二阶导数，求 $d z$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

---

【38712】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 填空题 将函数 $f(x)=\frac{1}{2-x-x^2}$ 展开成幂级数

---

【38711】 【 吉林大学《高等数学B》第二学期期末试卷与参考答案】 填空题 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{-x}, & -\pi \leq x<0 \\ 1, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.$ ，则其以 $2 \pi$ 为周期的傅立叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于

---

... 86 87 88 89 90  ...