【38760】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 判别下列级数的剑散性： $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6+5 \mathrm{i})^n}{8^n}$ ；

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【38759】 【 《复变函数》级数同步辅导】 单选题 设幂级数 $\sum_{n=0} a_n z^n=\mathrm{e}^{\frac{\cos z}{1-z}}$ ，则它的收敛半径为 ．

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【38758】 【 《复变函数》级数同步辅导】 单选题 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-1)^n$ 在 $z=3$ 发散，则它必在 ．

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【38757】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 将函数 $f(z)=\frac{\ln (2-z)}{z^2(z-1)}$ 在 $0<|z-1|<1$ 内展开成洛朗级数．

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【38756】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 求函数 $f(z)=z^4 \mathrm{e}^{\frac{1}{z}}$ 在 $0<|z|<+\infty$ 内的洛朗展开式．

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【38755】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 将下列各函数展开成 $z$ 的幂级数，并指出它们的收敛半径． （1） $\mathrm{ch} z$ ； （2） $\mathrm{e}^{\frac{z}{z-1}}$ ．

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【38754】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{a^n+\mathrm{i} b^n}(a>0, b>0)$ 的收敛半径．

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【38753】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 发散，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n$ 的收敛半径为 1 ．

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【38752】 【 《复变函数》级数同步辅导】 解答题 设复数 $z_1, z_2, \cdots, z_n, \cdots$ 全部位于半平面 $\operatorname{Re} z \geqslant 0$ 上，且 $\sum_{n=1}^{\infty} z_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} z_n^2$ 均收敛，证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|z_n\right|^2$ 也收敛。

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【38751】 【 福建省福州八县2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷】 解答题 设 $O x, O y$ 是平面内夹角成 $\theta\left(0^{\circ}<\theta<180^{\circ}, \theta \neq 90^{\circ}\right)$ 的两条数轴， $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2 \text { 两分别为 } x \text { 轴，} y \text { 轴 }}$正方向同向的单位向量．若向量 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O P}$ 在此坐标系中的坐标，记 $\overrightarrow{O P}=(x, y)$ ．已知 $\overrightarrow{O A}=(3,1), \overrightarrow{O B}=(1,1)$ ． （1）若 $\theta=60^{\circ}$ ． （i）求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ ． （ii）是否存在 $O y$ 上一点 $C$ ，使得 $\triangle A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形？若存在，求出 $C$ 点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若 $|\overrightarrow{O A}-t \overrightarrow{O B}| \geq \sqrt{3}$ 对 $t \in R$ 恒成立，求 $\cos \langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\rangle$ 的最大值．

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