【31231】 【 定积分】 证明题 试证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} d x=\frac{\pi}{2}(n=1,2, \cdots)$ ．

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【31230】 【 定积分】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则 $$ \int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| d x \geqslant \frac{1}{e} $$ （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则 $$ f(y)-f(x)|\leqslant M| y-\left.x\right|^{1 / 2} $$ （3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则 $$ \left|\int_0^2 f(x) d x\right| \leqslant \frac{M}{3} . $$

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【31229】 【 定积分】 证明题 （Jensen 积分不等式）设 $f \in R([0,1])$ ，且 $m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[0$ ， $1]$ ，又连续函数 $\varphi(x)$ 在 $[m, M]$ 上是（下）凸的，则 $$ \varphi\left[\int_0^1 f(x) d x\right] \leqslant \int_0^1 \varphi[f(x)] d x . $$

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【31228】 【 定积分】 证明题 试证明下列不等式： （1）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的下凸函数，则 $\int_a^b f(x) d x \leqslant(b-a) \frac{f(b)+f(a)}{2}$ ． （2）（Чебышев一一切比雪夫不等式）设 $f(x), g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的递增（或递减）函数，则有 $$ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x \cdot \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) d x \leqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) g(x) d x . $$ （若 $f(x)$ 递增，$g(x)$ 递减，则不等式相反．）

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【31227】 【 定积分】 证明题 设 $f \in C([0,1])$ 且 $f(x)>0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则 $$ 1 / \int_0^1 \frac{d x}{f(x)} \leqslant e^{\int_0^1 \ln f(x) d x} \leqslant \int_0^1 f(x) d x $$

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【31226】 【 定积分】 证明题 证明 $$ R(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x \text { 是无理数，} x=0 ; \\ \frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, p \text { 与 } q \text { 是互素正整数 } \end{array}\right. \text {（Riemann 函数）．} $$ 在 $[0,1]$ 上是可积的

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【31225】 【 定积分】 解答题 解答下列问题： （1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且有 $\int_0^1 f(x) d x>0$ ，试证明存在 $[\alpha, \beta] \subset[0,1]$ ，使得 $f(x)>0(x \in[\alpha, \beta])$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，$\alpha>0$ ．试对 $[a, b]$ 的任一分划 $\Delta_{:} a=x_0<x_1<\cdots \left\langle x_n=b\right.$ ，以及任意的插点组 $\langle\xi\rangle$ ，计算极限 $\lim _{\Delta \| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\left(\Delta x_i\right)^{1+\alpha}$ ．

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【31224】 【 三角形与四边形】 解答题 已知：如图 19－3 所示，在 $\triangle A B C$ 中，中线 $B E, C D$ 交于点 $O, F, G$ 分别是 $O B, O C$ 的中点．求证：四边形 $D F G E$ 是平行四边形． [img=/uploads/2025-09/8e3d99.jpg][/img]

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【31223】 【 三角形与四边形】 解答题 如图 19－2 所示，在 $\square A B C D$ 中，$D B=C D, \angle C=70^{\circ}, A E \perp B D$于点 $E$ ．试求 $\angle D A E$ 的度数．

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【31222】 【 三角形与四边形】 解答题 如图 18－4 所示，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，以点 $O$为一个顶点作正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} O$ ，且 $2 O A^{\prime}>A C$ ，试说明正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} O$ 绕点 $O$ 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积不变．分析 在成 2 倍关系的两角图形中，旋转过程往往伴随着全等图形，图中易证 $\triangle A E O \cong \triangle B O F$ ． [img=/uploads/2025-09/af5614.jpg][/img]

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