【31238】 【 定积分】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $f(x), g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的递增连续函数，则 $$ \int_a^b f(x) d x \int_a^b g(x) d x \leqslant(b-a) \int_a^b f(x) g(x) d x . $$ （2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且有 $f(0)=0,0<f^{\prime}(x)<1(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则 $$ 2 \int_0^x f(t) d t / f^2(x)>1 \quad(0<x \leqslant 1) . $$

---

【31237】 【 定积分】 证明题 计算$I=\int_{-1}^2 \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$

---

【31236】 【 定积分】 证明题 设 $f \in C^{(1)}((-\infty, \infty))$ ，且 $f(0)=0$ ，令 $$ F(x)= \begin{cases}\int_0^x t f(t) d t / x^2, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases} $$ 则 $F \in C^{(1)}((-\infty, \infty))$ 且 $F^{\prime}(0)=f^{\prime}(0) / 3$ 。

---

【31235】 【 定积分】 证明题 （3）$I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \int_0^x \ln \frac{P(t)}{Q(t)} d t(\alpha>1 ; P(t), Q(t)>0$ ，多项式）。 （4）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \int_0^x\left(\int_3^{y^2} \frac{\sin t}{t} d t\right) d y / x^3$ ．

---

【31234】 【 定积分】 证明题 （1）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x\left[\frac{1}{u}-\cot u\right] d u$ ． （2）$I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\iint_0^x e^{t^2} d t\right)^{1 / x^2}$ ．

---

【31233】 【 定积分】 证明题 试求下列极限： （1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1+2^{\alpha+1}+3^{\alpha+1}+\cdots+n^{\alpha+1}}{1+2^\alpha+3^\alpha+\cdots+n^\alpha}(\alpha>-1)$ ． （2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^k+3^k+\cdots+(2 n-1)^k}{n^{k+1}}(k \geqslant 0)$ ．

---

【31232】 【 定积分】 证明题 （Riemann－Lebesgue引理）设 $f \in R([a, b])$ ，则 $$ \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x d x=0 $$

---

【31231】 【 定积分】 证明题 试证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} d x=\frac{\pi}{2}(n=1,2, \cdots)$ ．

---

【31230】 【 定积分】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则 $$ \int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| d x \geqslant \frac{1}{e} $$ （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则 $$ f(y)-f(x)|\leqslant M| y-\left.x\right|^{1 / 2} $$ （3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则 $$ \left|\int_0^2 f(x) d x\right| \leqslant \frac{M}{3} . $$

---

【31229】 【 定积分】 证明题 （Jensen 积分不等式）设 $f \in R([0,1])$ ，且 $m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[0$ ， $1]$ ，又连续函数 $\varphi(x)$ 在 $[m, M]$ 上是（下）凸的，则 $$ \varphi\left[\int_0^1 f(x) d x\right] \leqslant \int_0^1 \varphi[f(x)] d x . $$

---

... 861 862 863 864 865  ...