试证明下列命题：
（1）设 $f(x), g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的递增连续函数，则

$$
\int_a^b f(x) d x \int_a^b g(x) d x \leqslant(b-a) \int_a^b f(x) g(x) d x .
$$

（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且有 $f(0)=0,0 < f^{\prime}(x) < 1(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则

$$
2 \int_0^x f(t) d t / f^2(x)>1 \quad(0 < x \leqslant 1) .
$$