试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则

$$
\int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| d x \geqslant \frac{1}{e}
$$

（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则

$$
f(y)-f(x)|\leqslant M| y-\left.x\right|^{1 / 2}
$$

（3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则

$$
\left|\int_0^2 f(x) d x\right| \leqslant \frac{M}{3} .
$$