解答下列问题：
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且有 $\int_0^1 f(x) d x>0$ ，试证明存在 $[\alpha, \beta] \subset[0,1]$ ，使得 $f(x)>0(x \in[\alpha, \beta])$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，$\alpha>0$ ．试对 $[a, b]$ 的任一分划 $\Delta_{:} a=x_0 < x_1 < \cdots \left\langle x_n=b\right.$ ，以及任意的插点组 $\langle\xi\rangle$ ，计算极限 $\lim _{\Delta \| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\left(\Delta x_i\right)^{1+\alpha}$ ．