【31821】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试判别下列积分的收敛性： （1）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{~d} x(p>0)$ ． （2）$I=\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{\sin x} \frac{\sin (2 x)}{x^p} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．

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【31820】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试证明下列命题： （1） $\int_1^{+\infty} x^3 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 收敛。 （2） $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ 收敛。 （3） $\int_0^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^3} \mathrm{~d} x$ 收敛。 （4） $\int_2^{+\infty} \frac{\sin ^2 x \mathrm{~d} x}{x^p\left(x^p+\sin x\right)}\left(p>\frac{1}{2}\right)$ 收敛。

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【31819】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 计算下列反常积分： （1）$I=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{1+x^2}}$ ． （2）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x+1}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．

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【31818】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 计算下列反常积分： （1）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^p}$ ． （2）$I=\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^p}$ ．

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【31817】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试证明下列命题： （1）曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sin x$ 与 $O x$ 轴上的各区间段 $I_n: n \pi \leqslant x \leqslant(n+1) \pi(n=0,1$ ， $2, \cdots)$ 所围图形的面积 $S_n(n=0,1,2, \cdots)$ 形成等比数列。 （2）曲线 $r=a \sin \frac{\theta}{3}$ 位于各区间段 $0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \pi, \pi \leqslant \theta \leqslant \frac{3}{2} \pi$ 上的扇形面积：$S_1, S_2, S_3$ 形成等差数列。

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【31816】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 设 $a_n=\sqrt{n}(n-1)!!n!!(n \in \mathbf{N})$ ，试证明 $$ \varlimsup_{n \rightarrow \infty} a_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\sqrt{\frac{2}{\pi}} . $$

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【31815】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f, g \in R([a, b])$ ，令 $M=\max _{[a, b]}\{f(x)\}, g(x) \geqslant 0$ 且 $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x>0$ 。若 $\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=M \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=M$ 。 （2）设 $f, g \in C([a, b]), \varphi \in R([a, b])$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$ ，则存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得 $$ g\left(\xi_1\right) \int_a^b f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x=f\left(\xi_2\right) \int_a^b g(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . $$ （3）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，则存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $$ I=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=f(0)+\frac{1}{2} f^{\prime}(\xi) $$ （4）设 $f \in C([0,1])$ 且 $f(x)>0$ ，则对 $n \in \mathbf{N}$ ，存在 $\xi_n$ ，使得 $$ \begin{gathered} \frac{1}{n} \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\xi_n} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_n}^1 f(x) \mathrm{d} x \\ \lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_n=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x /[f(0)+f(1)] \end{gathered} $$

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【31814】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试证明下列极限等式： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_0^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=f(0)-f(2 \pi) \quad$（已知 $\left.f^{\prime} \in R([0,2 \pi])\right)$ 。 （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_1^n \ln \left[1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right] \mathrm{d} x=2$ ．

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【31813】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 计算下列定积分： （1）$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{~d} x(n \geqslant 2)$ ． （2）$I_n=\int_0^1(\arcsin x)^n \mathrm{~d} x$ ．

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【31812】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 计算下列定积分： （1）$I=\int_0^1 x(\arctan x)^2 \mathrm{~d} x$ ． （2）$I=\int_0^{\pi / 2} \sin x \cdot \ln \sin x \mathrm{~d} x$ ．

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