【31811】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C([a, b])$ ．若对任意的 $t \in[0, b-a]$ ，有 $f(a+t)=f(b-t)$ ，则 $$ \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x . $$ （2）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，且 $f(x) / x \rightarrow 2(x \rightarrow 0)$ 。令 $F(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t(-\infty< x<\infty)$ ，则 $F^{\prime} \in C((-\infty, \infty))$ ．

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【31810】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 试证明下列等式： （1）$I=\int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{t \mathrm{~d} t}{\sin t}$ ． （2）$I=\int_0^{\pi / 2} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\tan ^\alpha x}=\int_0^{\pi / 2} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\cot ^\alpha x}=\frac{\pi}{4}$ ．

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【31809】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 计算 (1) $\int_0^{\pi / 4} \tan ^{14} x \mathrm{~d} x$. (2) $\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x} \mathrm{~d} x$.

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【31808】 【 定积分与不定积分训练】 解答题 计算下列定积分： （1） $\int_0^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$ ． （2） $\int_0^2(2 x+1) \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x$ ．

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【31807】 【 定积分与不定积分训练】 证明题 试证明下列命题： （1）令 $S_n(\alpha)=\sum_{k=1}^n \frac{\sin (k \alpha)}{k}(0<\alpha \leqslant \pi)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(\alpha)=\frac{\pi-\alpha}{2}$ 。 （2）设 $f \in C([a, b])$ ．若对满足 $g(a)=g(b)=0$ 的任一 $g \in C([a, b])$ ，有 $\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv 0$ 。 （3）设 $f \in C^{2)}([0, \infty)), f(0)=f^{\prime}(0)=0$ 且 $f^{\prime \prime}(x)>0(0 \leqslant x<\infty)$ ．若 $u= u(x)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 过切点 $(x, f(x))$ 的切线在 $x$ 轴上的截距，则 $$ \lim _{x \rightarrow 0+} \int_0^{u(x)} f(t) \mathrm{d} t / \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{8} . $$

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【31806】 【 定积分与不定积分训练】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，则 $F^{\prime} \in R([a, b])$ 的充分必要条件是：存在 $g \in R([a, b])$ ，使得 $$ F(x)=F(a)+\int_a^x g(t) \mathrm{d} t $$ （2）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的单调函数，且 $F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上可导，则 $f \in C([a, b])$. （3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有原函数 $F(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $g^{\prime} \in R([a, b])$ ，则乘积函数 $\varphi(x)=f(x) g(x)(x \in[a, b])$ 有原函数。

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【31805】 【 高中物理第一轮复习 测量玻璃的折射率】 解答题 如图所示，某同学为了测量截面为正三角形的三棱镜玻璃折射率，先在白纸上放好三棱镜，在棱镜的左侧插上两枚大头针 $P_1$ 和 $P_2$ ，然后在棱镜的右侧观察到 $P_1$ 的像和 $P_2$ 的像，当 $P_1$ 的像恰好被 $P_2$ 的像挡住时，插上大头针 $P_3$ 和 $P_4$ ，使 $P_3$ 挡住 $P_1 、 P_2$ 的像，$P_4$ 挡住 $P_3$ 和 $P_1 、 P_2$ 的像。在纸上标出的大头针位置和三棱镜轮廓如图所示。 （1）画出对应的光路． [img=/uploads/2025-09/f12cdf.jpg,WIDTH=300PX][/img] (2)为了测出三棱镜玻璃材料的折射率，若以AB作为分界面，需要测量的量是（） 和 （），在图上标出它们. (3)三棱镜玻璃材料折射率的计算公式是n＝ (4)若在测量过程中，放置三棱镜的位置发生了微小的平移(移至图中的虚线位置且底边仍重合)，则以AB作为分界面，三棱镜玻璃材料的折射率的测量值 (选填“大于”“小于”或“等于”)真实值.

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【31804】 【 高中物理第一轮复习 测量玻璃的折射率】 解答题 1.在“测量玻璃的折射率”实验中，某同学经正确操作后插好了4枚大头针，如图甲所示. [img=/uploads/2025-09/5764c8.jpg,WIDTH=500PX][/img] (1)下列说法正确的是 A.入射角越大，误差越小 B.在白纸上放好玻璃砖后，用铅笔贴着光学面画出界面 C.实验时既可用量角器，也可用圆规和直尺等工具进行测量 D.判断像与大头针是否在同一直线时，应该观察大头针的头部 (2)请在图乙中画出完整的光路图； [img=/uploads/2025-09/f8131f.jpg,WIDTH=300PX][/img] (3)对你画出的光路图进行测量和计算，求得该玻璃砖的折射率n＝ (保留3位有效数字)； (4)为了观测光在玻璃砖不同表面的折射现象，某同学做了两次实验，经正确操作后插好了8枚大头针，如图丙所示.图丙中P1和P2是同一入射光线上的2枚大头针，其对应出射光线上的2枚大头针是P3和 (选填“A”或“B”). [img=/uploads/2025-09/758fdc.jpg,width=400px][/img]

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【31803】 【 高中数学第一轮复习 抛物线训练】 单选题 已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I$ ，点 $A, B$ 在抛物线 $C$ 上，且满足 $A F \perp B F$ ．设线段 $A B$ 的中点到准线的距离为 $d$ ，则 $\frac{|A B|}{d}$ 的最小值为（ ）

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【31802】 【 高中数学第一轮复习 抛物线训练】 解答题 已知抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F, A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 是过点 $F$ 的直线与抛物线的两个交点，求证： （1）$y_1 y_2=-p^2, x_1 x_2=\frac{p^2}{4}$ ； （2）$\frac{1}{A F}+\frac{1}{B F}$ 为定值； （3）以 $A B$ 为直径的圆与抛物线的准线相切．

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