【31831】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 解答题 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ 与 $C D$ ．当直线 $A B$ 的斜率为 0 时，$A B=4$ ． （1）求椭圆的方程； （2）若 $A B+C D=\frac{48}{7}$ ，求直线 $A B$ 的方程． [img=/uploads/2025-09/06c8ad.jpg][/img]

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【31830】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 解答题 已知直线 1： $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+2$ ，椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^2}{4}+\mathrm{y}^2=1$ ．试问当 k 取何值时，直线 1 与椭圆 C ： （1）有两个不重合的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点．

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【31829】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 解答题 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$ ，渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x$ ． （1）求 $C$ 的方程； （2）过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 在 $C$ 上，且 $x_1>x_2>0$ ， $y_1>0$ ．过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $M$ ．从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立． （1）$M$ 在 $A B$ 上； （2）$P Q / / A B$ ； （3）$|M A|=|M B|$ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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【31828】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 多选题 已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p, 0)$ ．若 $|A F|=|A M|$ ，则（ ）

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【31827】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 多选题 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(1,1)$ 在抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 上，过点 $B(0,-1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，则

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【31826】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 多选题 设 $O$ 为坐标原点，直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，$l$ 为 $C$的准线，则（ ）

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【31825】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 填空题 记双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$ ，写出满足条件＂直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点＂的 $e$ 的一个值 $\qquad$ ．

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【31824】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 填空题 已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

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【31823】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 单选题 设 $F$ 为抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$ ，若 $|A F|=|B F|$ ，则 $|A B|=(\quad)$

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【31822】 【 直线与圆锥曲线的位置关系】 单选题 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}, C$ 的一条渐近线与圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=1$ 交于 $A, B$两点，则 $|A B|=(\quad)$

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