如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ 与 $C D$ ．当直线 $A B$ 的斜率为 0 时，$A B=4$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若 $A B+C D=\frac{48}{7}$ ，求直线 $A B$ 的方程．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$