【32784】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （北京师范大学，2006 年）当 $a, b$ 取何值时，线性方程组 $$ \begin{cases}a x_1+(b+1) x_2+2 x_3 & =1 \\ a x_1+(2 b+1) x_2+3 x_3 & =1 \\ a x_1+(b+1) x_2+(b+4) x_3 & =2 b+1\end{cases} $$ 有解？并求解．

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【32783】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （北京大学，1997 年；武汉大学，2009 年；华南理工大学，2011 年）设 $A, B$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{X}$ 是末知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 所构成的 $n \times 1$ 矩阵。已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 分别有 $l, m$ 个线性无关的解向量，这里 $l \geqslant 0, m \geqslant 0$ ．证明： （1）$(\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 至少有 $\max (l, m)$ 个线性无关的解向量； （2）如果 $l+m>n$ ，那么 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 必有非零解； （3）如果 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 无公共的非零解向量，且 $l+m=n$ ，那么 $P^n$ 中任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 都可唯一地表示成 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}$ ，这里 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 分别是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解向量．

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【32782】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （北京交通大学，2005 年）已知线性方程组 （ I ）$\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0\end{array}\right.$ 的一个基础解系为 $$ \left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{1,2 n}\right)^{\mathrm{T}},\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{2,2 n}\right)^{\mathrm{T}}, \cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots, b_{n, 2 n}\right)^{\mathrm{T}} . $$ 求线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} b_{11} y_1+b_{12} y_2+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0 \\ b_{21} y_1+b_{22} y_2+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0 \end{array}\right. $$ 的通解，并说明理由．

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【32781】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （华南理工大学，2015 年）已知齐次线性方程组 （ I ）：$\left\{\begin{array}{r}x_1+2 x_2+3 x_3=0, \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3=0, \\ x_1+x_2+a x_3=0\end{array}\right.$（和（II）：$\left\{\begin{aligned} x_1+b x_2+c x_3=0, & \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0 & \end{aligned}\right.$ 同解，求 $a, b, c$ 的值．

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【32780】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （中国科学院，2005 年）设四元齐次线性方程组（I）为 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_3=0, \\ x_2-x_4=0 .\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组（II）的通解为 $k_1(0,1,1,0)+k_2(-1,2,2,1)$ ． （1）求线性方程组（I）的基础解系； （2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由．

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【32779】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （南开大学，2005年）设齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_2+a x_3+b x_4=0 \\ -x_1+c x_3+d x_4=0 \\ a x_1+c x_2-e x_4=0 \\ b x_1+d x_2-e x_3=0 \end{array}\right. $$ 的一般解以 $x_3, x_4$ 为自由未知量． （1）求 $a, b, c, d, e$ 满足的条件； （2）求齐次线性方程组的基础解系．

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【32778】 【 向量空间与线性表示】 单选题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}(\quad)$ ．

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【32777】 【 向量空间与线性表示】 证明题 （华中科技大学，2005 年）解线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+a x_2+a^2 x_3=a^3, \\ x_1+b x_2+b^2 x_3=b^3, \\ x_1+c x_2+c^2 x_3=c^3, \end{array}\right. $$ 其中 $a, b, c$ 是互不相等的常数．

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【32776】 【 向量空间与线性表示】 证明题 （武汉大学，1994 年）试利用线性方程组理论证明：一元 $n$ 次多项式不能有多于 $n$ 个互异的根．

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【32775】 【 向量空间与线性表示】 证明题 （北京航空航天大学，2004 年）设向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m\right\}$ ， $\left\{\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_m\right\}$ 的秩分别为 $s_1, s_2, s_3$ ，其中 $\boldsymbol{\gamma}_i=\boldsymbol{\alpha}_i-\boldsymbol{\beta}_i, i=1,2, \cdots, m$ ．证明：$s_1 \leqslant s_2+s_3, s_2 \leqslant s_1+ s_3, s_3 \leqslant s_1+s_2$ ．

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