【32794】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 单选题 设 $\varphi$ 是 V 到 U 的线性映射， $\operatorname{dim} \mathrm{V}=n, \operatorname{dim} \mathrm{U}=m$ 。若 $m<n$ ，则 $\varphi$

---

【32793】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 单选题 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换 $\varphi$ 在基 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 下的表示矩阵是 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\varphi$ 在基 $\xi_1, 2 \xi_2, \xi_3$ 下的表示矩阵是

---

【32792】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 单选题 设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 阶矩阵，且 $A B=I$ ，则

---

【32791】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 单选题 设非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 中未定元个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则

---

【32790】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 单选题 已知向量组 I：$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 可以由向量组 II：$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ 线性表示，则下列叙述正确的是

---

【32789】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 单选题 设 $b$ 为 3 维行向量， $\mathrm{V}=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid\left(x_1, x_2, x_3\right)=b\right\}$ ，则

---

【32788】 【 向量空间与线性表示】 证明题 （浙江大学，2001 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $m \times 1$ 矩阵． （1）证明： $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}$ ；（苏州大学，2012年） （2）设 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ ，证明：线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解．（华东师范大学，2014 年）

---

【32787】 【 向量空间与线性表示】 证明题 （重庆大学，2005 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A}^*=\left(A_{i j}\right)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵且 $A_{11} \neq 0$ ，又设 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ 为 $n$ 维列向量．证明： $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多个解 $\Leftrightarrow \boldsymbol{b}$ 是 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解．

---

【32786】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （南京大学，2011 年）设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 的前 $n-1$ 个列向量线性相关，后 $n-1$ 个列向量线性无关， $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n$ ． （1）证明：方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 必有无穷多解； （2）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．

---

【32785】 【 向量空间与线性表示】 解答题 （西南大学，2007 年）问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} \lambda x_1+x_2+x_3+x_4 & =1, \\ x_1+\lambda x_2+x_3+x_4 & =\lambda, \\ x_1+x_2+\lambda x_3+x_4 & =\lambda^2, \\ x_1+x_2+x_3+\lambda x_4 & =\lambda^3 \end{aligned}\right. $$ 没有解？有唯一解？有无穷多解？

---

... 706 707 708 709 710  ...