【32774】 【 向量空间与线性表示】 证明题 重庆大学，2006 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，向量 $\boldsymbol{\beta}_1$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，而向量 $\boldsymbol{\beta}_2$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示．证明：对于任意常数 $l$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, l \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 总线性无关．

---

【32773】 【 向量空间与线性表示】 单选题 已知 $n$ 维向量组 $$ \text { ( I ): } \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \quad \text { ( II ): } \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t \text {, } $$ 且 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)=r$ ，则（ ）。

---

【32772】 【 向量空间与线性表示】 证明题 （北京大学，2010 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，并且可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示．证明：必存在某个向量 $\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2, \cdots, t)$ 使得向量组 $\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．

---

【32771】 【 向量空间与线性表示】 证明题 (哈尔滨工业大学，2006 年）设向量 $\boldsymbol{\beta}_1=4 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+4 \boldsymbol{\alpha}_4$ ．证明：向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 线性无关的充分必要条件是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关．

---

【32770】 【 向量空间与线性表示】 单选题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 均为 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（ ）．

---

【32769】 【 2025年河南省南阳市八年级(上)数学期中考试试卷】 解答题 （1）如图（1），已知：在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C$ ，直线 $m$ 经过点 $A, B D \perp$ 直线 $m, C E \perp$ 直线 $m$ ，垂足分别为点 $D 、 E$ ，则 $B D 、 D E 、 C E$ 的数量关系为 $\_\_\_\_$ ． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, D 、 A 、 E$ 三点都在直线 $m$ 上，并且有 $\angle B D A=\angle A E C=\angle B A C =\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图（3），$D 、 E$ 是 $D 、 A 、 E$ 三点所在直线 $m$ 上的两动点（ $D 、 A 、 E$ 三点互不重合）点 $F$ 为 $\angle B A C$ 平分线上的一点，且 $\triangle A B F$ 和 $\triangle A C F$ 均为等边三角形，连接 $B D 、 C E$ ，若 $\angle B D A=\angle A E C=\angle B A C$ ，求 $\angle D F E$ 的度数． [img=/uploads/2025-10/776449.jpg][/img]

---

【32768】 【 2025年河南省南阳市八年级(上)数学期中考试试卷】 解答题 如图，已知 $\triangle A B C$ 中 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 与 $\angle B A C$ 的平分线交于点 $E, E F \perp A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F, B G \perp A C$ 交 $A C$ 于点 $G$ ． （1）求证：$B F=C G$ ； （2）若 $A B=12, A C=16$ ，求 $A F$ 的长度． [img=/uploads/2025-10/546229.jpg][/img]

---

【32767】 【 2025年河南省南阳市八年级(上)数学期中考试试卷】 解答题 如图，已知 $\triangle M A N$ ，点 $B$ 在射线 $A M$ 上． （1）尺规作图，在 $A N$ 上取一点 $C$ ，使 $B C=B A$ ，作 $\angle M B C$ 的平分线 $B D$ ．（保留作图痕迹，不可作法） （2）在（1）的条件下，求证：$B D \| A N$ ． [img=/uploads/2025-10/7543d9.jpg][/img]

---

【32766】 【 2025年河南省南阳市八年级(上)数学期中考试试卷】 解答题 如图，$\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \angle B A C=120^{\circ}, D$ 为 $B C$ 的中点，$D E \perp A C$ 于 $E, A E=1$ ，求 $C E$ 的长． [img=/uploads/2025-10/d07a8b.jpg][/img]

---

【32765】 【 2025年河南省南阳市八年级(上)数学期中考试试卷】 解答题 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，$\triangle A B C$ 的顶点均在格点上，点 $C$ 的坐标为 $(4,-$ 1）。 （1）请以 $y$ 轴为对称轴，画出与 $\triangle A B C$ 对称的 $\triangle A_1 B_1 C_1$ ，并直接写出点 $A_1$ 、 $B_1 、 C_1$ 的坐标； （2）$\triangle A B C$ 的面积是 $\_\_\_\_$ ； （3）点 $P(a+1, b-1)$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$。 [img=/uploads/2025-10/b51d2e.jpg][/img]

---

... 706 707 708 709 710  ...