【33004】 【 矩阵】 解答题 （南京大学，2007 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}$ 是 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{E}_m$ 是 $m$ 阶单位矩阵．证明：若 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}+\boldsymbol{E}_m\right)<m$ ，则 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{U} \boldsymbol{V}^{\mathrm{T}}\right)<n$ ，其中 $\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{V}$ 的转置．

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【33003】 【 矩阵】 解答题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，证明： （1） $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \geqslant \operatorname{rank} \boldsymbol{A}-\operatorname{rank} \boldsymbol{B}$ ； （2）若 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵，则结论（1）中的等号成立当且仅当 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}$ ．

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【33002】 【 矩阵】 解答题 （北京科技大学，2008 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶幂等矩阵（即 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B}$ ），且 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ 可逆，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。证明 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}$ 。

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【33001】 【 矩阵】 解答题 （复旦大学，2001 年）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ 求三阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，四阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \boldsymbol{Q} $$

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【33000】 【 矩阵】 单选题 （数学一，2006 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$ ，记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则有 $($ ．

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【32999】 【 矩阵】 解答题 设 $\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & & & \\ & 1 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ 为 $n$ 阶方阵 $(n \geqslant 2)$ ，求解矩阵方程 $3 \boldsymbol{X}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{J}+\boldsymbol{J} \boldsymbol{X}$ ．

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【32998】 【 矩阵】 解答题 （浙江大学，2016 年）已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶不可逆方阵， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵。证明：至多存在两个非零复数 $k$ ，使得 $k \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^*$ 为不可逆矩阵。

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【32997】 【 矩阵】 单选题 （武汉大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵 $(n \geqslant 2), \boldsymbol{A}^*$ 与 $\boldsymbol{B}^*$ 分别是 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，已知 $\boldsymbol{B}$ 是交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得到的矩阵。对于下述 4 个选项，若正确则给予证明，若不正确请给出反例：

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【32996】 【 矩阵】 解答题 （武汉大学，2013 年）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lllll}1 & 1 & & & \\ & 1 & 1 & & \\ & & 1 & 1 & \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ ，求矩阵 $\boldsymbol{X}$ 使 $\boldsymbol{X}\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)=\boldsymbol{C}$ ．

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【32995】 【 矩阵】 解答题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{E},|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|=0$ ．证明：$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=0$ ．

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