【33044】 【 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第一次月考】 单选题 已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是夹角为 $120^{\circ}$ 的两个单位向量，则向量 $\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量为

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【33043】 【 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第一次月考】 单选题 已知 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 是两条不同的直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，则

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【33042】 【 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第一次月考】 单选题 设 $\mathrm{A}(0,-3), \mathrm{B}(0,3)$ 是平面内两个定点，动点 P 满足 $\|\mathrm{PA}|-| \mathrm{PB}\|=4$ ，则 $P$ 点的轨迹方程是

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【33041】 【 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第一次月考】 单选题 复数 $z=\frac{2+4 \mathrm{i}}{\mathrm{i}}$ 在复平面内对应的点位于

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【33040】 【 高等数学场论里的习题】 解答题 计算曲线积分 $I=\oint_L(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+ z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看，$L$ 是逆时针方向．

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【33039】 【 高等数学场论里的习题】 解答题 证明在 $\mathbb{R}^3$ 内存在函数 $u(x, y, z)$ ，使得 $$ \mathrm{d} u(x, y, z)=\left(y z \mathrm{e}^{x y z}+3 x^2\right) \mathrm{d} x+\left(x z \mathrm{e}^{x y z}+\sin y\right) \mathrm{d} y+\left(x y \mathrm{e}^{x y z}+2 z\right) \mathrm{d} z $$ 并求函数 $u(x, y, z)$ ．

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【33038】 【 高等数学场论里的习题】 解答题 向量场 $\mathbf{A}=\left(x^2 y z, x y^2 z, x y z^2\right)$ 的散度 $\operatorname{div} \mathbf{A}$ 和旋度 $\operatorname{curl} \mathbf{A}$ ．

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【33037】 【 高等数学场论里的习题】 解答题 设曲线 $\Gamma$ 是平面 $x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围的平面区域 $\Sigma$ 的面积为 $A$ ，平面的取向与 $\Gamma$ 的取向符合右手法则，其中 $(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为与平面同向的单位向量，计算曲线积分 $$ I=\oint_{\Gamma}\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z \end{array}\right| . $$

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【33036】 【 高等数学场论里的习题】 解答题 计算曲线积分 $I=\oint_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与 $\frac{x}{a}+\frac{z}{h}=1(a>0, h>0)$ 的交线，从 $O x$ 的正向看去交线为逆时针方向．

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【33035】 【 高等数学场论里的习题】 解答题 计算 $I=\int_{\Gamma}\left(x^2-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^2-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^2-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是螺线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=\frac{h}{2 \pi} t$ 从 $A(a, 0,0)$ 到 $B(a, 0, h)$ 的一段．

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