【33014】 【 山东大学《线性代数》期末试卷及答案】 单选题 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则

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【33013】 【 山东大学《线性代数》期末试卷及答案】 单选题 设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $r(A)=2$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系所含向量的个数为

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【33012】 【 山东大学《线性代数》期末试卷及答案】 单选题 设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是

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【33011】 【 山东大学《线性代数》期末试卷及答案】 单选题 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $|2 A|=$

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【33010】 【 矩阵】 解答题 （南开大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，$A^{-1}= \left(b_{i j}\right)_{n \times n}, c_i \in P, i=1,2, \cdots, n$ ．令 $\boldsymbol{C}=\left(a_{i j}+c_i c_j\right)_{n \times n}, d_i=\sum_{j=1}^n b_{i j} c_j, i=1,2, \cdots, n$ ．试证明： $$ \operatorname{det} C=\left(1+\sum_{i=1}^n c_i d_i\right) \operatorname{det} A $$

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【33009】 【 矩阵】 解答题 （北京大学，2007 年）设 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，任取 $\boldsymbol{A}$ 的 $r$ 个线性无关的行向量，再从中任取 $r$ 个线性无关的列向量，组成的 $r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．

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【33008】 【 矩阵】 解答题 (北京大学，2009 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实方阵， $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，求证 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵．

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【33007】 【 矩阵】 解答题 汕头大学，2005 年）设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，证明：存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶非零矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{O}$ ．

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【33006】 【 矩阵】 解答题 （北京师范大学，2013 年；大连理工大学，2004 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，证明：存在一 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{B}$ 及一个 $n$ 阶幂等矩阵 $\boldsymbol{C}$（即 $\boldsymbol{C}^2=\boldsymbol{C}$ ），使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ 。

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【33005】 【 矩阵】 解答题 （华中科技大学，2017 年；清华大学，2008 年）设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，且 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}^2=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}$ ，证明： $$ \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}+\operatorname{rank} \boldsymbol{B} $$

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