（南开大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，$A^{-1}= \left(b_{i j}\right)_{n \times n}, c_i \in P, i=1,2, \cdots, n$ ．令 $\boldsymbol{C}=\left(a_{i j}+c_i c_j\right)_{n \times n}, d_i=\sum_{j=1}^n b_{i j} c_j, i=1,2, \cdots, n$ ．试证明：

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\operatorname{det} C=\left(1+\sum_{i=1}^n c_i d_i\right) \operatorname{det} A
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