（南京大学，2007 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}$ 是 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{E}_m$ 是 $m$ 阶单位矩阵．证明：若 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}+\boldsymbol{E}_m\right) < m$ ，则 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{U} \boldsymbol{V}^{\mathrm{T}}\right) < n$ ，其中 $\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{V}$ 的转置．