【33124】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 解答题 一工厂生产的某种设备的寿命 $\times$（以年计）服从指数分布，密度函数为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{4} x} & 0<x \\ 0 & x \leq 0 \end{array}\right. $$ 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元．求工厂出售一台设备赢利的数学期望．

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【33123】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 解答题 设 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 $$ f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 } \end{array} \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{c} e^{-y}, y>0 \\ 0, y \leq 0 \end{array}\right.\right. $$ 求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数．

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【33122】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 解答题 设二维随机变量 $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 在区域 $0 \leq x \leq 1, y^2 \leq x$ 内服从均匀分布．求 （1）$(X, Y)$ 的联合分布密度； （2）$X$ 与 $Y$ 的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？

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【33121】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 解答题 设随机变量 X 的分布密度为 $f(x)=\frac{A}{1+x^2} \quad(-\infty<x<+\infty)$ 求（1）常数 $A$ ；（2）$X$ 的分布函数；

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【33120】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 解答题 某工人看管甲、乙、丙 3 台机器，在 1 小时内，这 3 台机器不需照管的概率分别为 $0.8 ,0.9,0.6$ ，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在 1 小时内 （1）有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率．

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【33119】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 单选题 设随机变量 X 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\pi \sqrt{a^2-x^2}} & |x|<a \\ 0 & |x| \geq a\end{array}, a>0\right.$ ，则 $E(X)=$

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【33118】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 单选题 对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72 ，则每次射击的命中率等于

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【33117】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 单选题 设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $Y=a X+b$ 服从

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【33116】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 单选题 设随机变量 X 服从 $N(\mu, 4)$ ，则 $P\{X \leq 2+\mu\}$ ，的值

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【33115】 【 中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考3】 单选题 设随机变量 X 的分布函数为 $F(x)=a+\frac{1}{\pi} \arctan x(-\infty<x<\infty, a$ 为常数 $)$ 则 $$ P\left\{-\frac{\sqrt{3}}{3}<X<\sqrt{3}\right\}= $$

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