【36221】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 证明题 已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵，证明：矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是正定矩阵的充分必要条件为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ ．

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【36220】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 解答题 已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 中的向量组 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -6 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{r} -3 \\ 8 \\ 2 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{r} -2 \\ 5 \\ -6 \end{array}\right] . \end{aligned} $$ （1）求由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 生成的子空间 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的维数与一个基； （2）从 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 中选出属于 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的向量，并求出它们在题（1）中所选的基下的坐标．

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【36219】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3 \times 4$ 矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2$ ，且已知非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的 3 个解为 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r} 4 \\ 5 \\ -3 \\ 11 \end{array}\right] . $$ 试求：（1）齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解； （2）非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解．

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【36218】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 解答题 求正交变换 $\boldsymbol{x}=Q y$ ，用此正交变换将以下实二次型化为标准形： $$ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3 . $$

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【36217】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 解答题 设四阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{X}$ 满足方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$ ，已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $$ \boldsymbol{A}^*=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{array}\right], $$ 求矩阵 $\boldsymbol{X}$ ．

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【36216】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 解答题 已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a x_2+x_3=3, \\ x_1+2 a x_2+x_3=4, \\ b x_1+x_2+x_3=4 .\end{array}\right.$ （1）试问：常数 $a, b$ 取何值时，方程组有无穷多解、有唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．

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【36215】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 解答题 试求行列式 $|\boldsymbol{A}|,|\boldsymbol{B}|,|\boldsymbol{C}|$ ，其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 分别为 $n, m, n+m$ 阶方阵： $$ \begin{aligned} \boldsymbol{A} & =\left[\begin{array}{cccc} 1+x & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+x & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+x \end{array}\right], \\ \boldsymbol{B} & =\left[\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 2 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ m & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc} \mathbf{0} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \mathbf{0} \end{array}\right] . \end{aligned} $$

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【36214】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆阵，且 $\boldsymbol{A}^2=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$ ，则伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=$ $\_\_\_\_$。

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【36213】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 3$ 非零矩阵，已知 $\boldsymbol{\xi}_1=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\xi}_2=\left[\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ （答案不唯一）。

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【36212】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第三套)】 填空题 已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_{i j}\right)_{n \times n}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组，行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^* \neq \mathbf{0}$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为

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