【36574】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷解答】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $\boldsymbol{B}$ ． （I）证明 $\boldsymbol{B}$ 可逆； （II）求 $A B^{-1}$ ．

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【36573】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷解答】 解答题 已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足矩阵方程 $\boldsymbol{A}^2-3 \boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，其中 $\boldsymbol{A}$ 给定， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵． 证明 ： $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求出其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．

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【36572】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷解答】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ． （I）求 $a$ 的值； （II）若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\boldsymbol{X}$ ．

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【36571】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷解答】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{\cdot}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$

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【36570】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷解答】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}+2 \boldsymbol{X}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$

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【36569】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷解答】 解答题 设 $\left(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B}\right) \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{-1}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 4 阶单位矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵， $$ \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), $$ 求 $A$ ．

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【36568】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷题】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), 3$ 阶方阵 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 满足 $$ A X B^{-1}-A Y B^{-1}=E, X Y-Y^2=E . $$ 其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\boldsymbol{Y}$ ．

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【36567】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷题】 解答题 已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．

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【36566】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷题】 解答题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位阵，满足 $\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{B}$ ，又知 $\boldsymbol{A}= \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$

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【36565】 【 2024年考虫《线性代数》矩阵必刷题】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ．

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