【37086】 【 累加法和累乘法求数列通项】 解答题 已知数列 $\{a n\},\{b n\},\{c n\}$ 中，$a_1=b_1=c_1=1, c_n=a_{n+1}-a_n, c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ． （I）若数列 $\{b n\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_1+b_2=6 b_3$ ，求 $q$ 与 $\{a n\}$ 的通项公式； （II）若数列 $\{b n\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_1+c_2+\mathrm{L}+c_n<1+\frac{1}{d} .\left(n \in N^*\right)$

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【37085】 【 累加法和累乘法求数列通项】 单选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则

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【37084】 【 累加法和累乘法求数列通项】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1,\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<2$ ．

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【37083】 【 累加法和累乘法求数列通项】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}, a_1=1, a_{n+1}=-a_n+4 \times 3^{n-1}, b_n=\log _3 a_{n+2}{ }^{a_{n+2}}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ． （1）求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ； （2）求数列 $\left\{\left(2+\frac{3}{n}\right) \cdot \frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37082】 【 累加法和累乘法求数列通项】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}+a_n-2 a_{n+1}=2^n, a_1=1, a_2=3$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求 $\left\{(-1)^{n+1} \cdot\left(\frac{2^{n+1}+2^n-2}{a_{n+1} a_n}\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37081】 【 累加法和累乘法求数列通项】 单选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3} a_n^2\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则

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【37080】 【 累加法和累乘法求数列通项】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n=3^{n-1}+a_{n-1}\left(n \in \mathrm{~N}^*, n \geq 2\right)$ ． （1）求 $a_2, a_3$ ； （2）证明：$a_n=\frac{3^n-1}{2}$ ．

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【37079】 【 累加法和累乘法求数列通项】 解答题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_{n+1}=a_n+n+1$ （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明 $T_n<2$ ．

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【37078】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $3+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+\cdots+\frac{a_n}{2^n}=\frac{2 n+3}{2^n}$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n<\frac{1}{2}$ ．

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【37077】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_1=1, \frac{2 S_n}{a_n}=n+1$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）记数列 $\left\{\log _2 \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求集合 $\left\{k \mid T_k \leq 10, k \in \mathrm{~N}^*\right\}$ 中元素的个数．

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