【37076】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，其中 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）若对任意 $n \in \mathrm{~N}_{+}$，且当 $n \geq 2$ 时，总有 $\frac{1}{4 S_1}+\frac{1}{S_2-1}+\frac{1}{S_3-1}+\cdots+\frac{1}{S_n-1}<\lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

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【37075】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $\frac{2 S_n}{n}=a_n+1, a_2=2$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）集合 $A=\left\{a_1, a_2, \mathrm{~L}, a_n\right\}$ ，将集合 A 的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为 $T_n$ ，求 $T_n$ ．

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【37074】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=\frac{4^n}{3}-\frac{1}{3}$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{n}{a_n}$ ，记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n<4$ ．

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【37073】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_n$ 为数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$ ． （1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列； （2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

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【37072】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_n}{n}+n=2 a_n+1$ ． （1）证明：$\left\{a_n\right\}$ 是等差数列； （2）若 $a_4, a_7, a_9$ 成等比数列，求 $S_n$ 的最小值．

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【37071】 【 数列的基本概念与表示】 解答题 设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_2=1,2 S_n=n a_n$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37070】 【 数列的基本概念与表示】 填空题 已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d(d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和记为 $S_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，满足 $3 a_2+2 a_3=S_3+6$ ，若数列 $\left\{S_n\right\}$ 为单调递增数列，则公差 $d$ 的取值范围为

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【37069】 【 数列的基本概念与表示】 单选题 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积 $T_n=1-\frac{2}{15} n$ ，则 $a_n$ 的最大值与最小值的和为

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【37068】 【 数列的基本概念与表示】 单选题 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_n\right\}: b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}, \quad b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}$ ， $b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}, \cdots$ ，依此类推，其中 $\alpha_k \in \mathbf{N}^*(k=1,2, \mathrm{~L})$ 。则

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【37067】 【 数列的基本概念与表示】 填空题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=33, a_{n+1}-a_n=2 n$ ，则 $\frac{a_n}{n}$ 的最小值为

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