【40494】 【 毛纲源-矩阵的合同训练】 填空题 (2001年 3)设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(\boldsymbol{A})=n, A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]_{n \times n}$ 中元素 $a_{i j}(i, j= 1,2, \cdots, n)$ 的代数余子式，二次型 $$ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j . $$ （1）记 $\boldsymbol{X}=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{\mathrm{T}}$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(\boldsymbol{X})$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ； （2）二次型 $g(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 与 $f(\boldsymbol{X})$ 的规范形是否相同？说明理由．

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【40493】 【 毛纲源-矩阵的合同训练】 填空题 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必合同．

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【40492】 【 毛纲源-矩阵的合同训练】 填空题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列矩阵中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 合同？哪些与 $\boldsymbol{A}$ 不合同？ （1） $\mathbf{A}_1=\operatorname{diag}(1,1,1)$ ； （2） $\boldsymbol{A}_2=\operatorname{diag}(1,1,0)$ ； （3） $\boldsymbol{A}_3=\operatorname{diag}(-1,-1,0)$ ； （4） $\boldsymbol{A}_4=\operatorname{diag}(1,-1,0)$ ．

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【40491】 【 李艳芳2026年考研数学预测卷三套卷(数二)第二套】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 a \\ b & -1 & -1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-a & \frac{1}{2} & b-a \\ 0 & \frac{1}{2} & b-2 a\end{array}\right)$ ，其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 均不为零．记 $\alpha= \binom{0}{-1}, \boldsymbol{\beta}=\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ ，已知方程组 $\mathrm{Ax}=\alpha$ 与 $\mathrm{Bx}=\beta$ 至少有两个不同的公共解． （1）求 $a, b$ 的值； （II）求正交变换 $\mathrm{X}=\mathrm{Qy}$ 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形．

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【40490】 【 李艳芳2026年考研数学预测卷三套卷(数二)第二套】 解答题 设连续函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $f(x)+\int_0^{2(\pi-x)} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t=\sin ^2 x$ ．求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式．

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【40489】 【 李艳芳2026年考研数学预测卷三套卷(数二)第二套】 单选题 设函数 $\mathrm{f}({X})$ 连续， $\mathrm{E} \int_0^{x^2} t f\left(x^2-t\right) \mathrm{d} t=1-\cos x^2$ ，则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=(\quad)$

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【40488】 【 李艳芳2026年考研数学预测卷三套卷(数二)第二套】 单选题 设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 x^{n+2}}{\sqrt{1+x^{2 n}}}, F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t(x>-1)$ ，则下列说法中，正确的是

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【40487】 【 光的波粒二象性物质波】 解答题 ＂夸父一号＂太阳探测卫星可以观测太阳辐射的硬 x 射线。硬 x 射线是波长很短的光子，设波长为 $\lambda$ 。若太阳均匀地向各个方向辐射硬 X 射线，卫星探测仪镜头正对着太阳，每秒接收到 $N$ 个该种光子。已知探测仪镜头面积为 $S$ ，卫星离太阳中心的距离为 $R$ ，普朗克常量为 $h$ ，光速为 $c$ ，求： （1）每个光子的动量 $p$ 和能量 $E$ ； （2）太阳辐射硬 X 射线的总功率 $P$ 。

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【40486】 【 光的波粒二象性物质波】 多选题 有一种新型光电效应量子材料，其逸出功为 $W_0$ 。当紫外光照射该材料时，只产生动能和动量单一的相干光电子束。用该电子束照射间距为 $d$ 的双缝，在与缝相距为 $L$ 的观测屏上形成干涉条纹，测得条纹间距为 $\Delta x$ 。已知电子质量为 $m$ ，普朗克常量为 $h$ ，光速为 $c$ ，则

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【40485】 【 光的波粒二象性物质波】 多选题 已知一个激光发射器功率为 $P$ ，发射波长为 $\lambda$ 的光，光速为 $c$ ，普朗克常量为 $h$ ，则

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