(2001年 3)设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(\boldsymbol{A})=n, A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]_{n \times n}$ 中元素 $a_{i j}(i, j= 1,2, \cdots, n)$ 的代数余子式，二次型

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j .
$$

（1）记 $\boldsymbol{X}=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{\mathrm{T}}$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(\boldsymbol{X})$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ；
（2）二次型 $g(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 与 $f(\boldsymbol{X})$ 的规范形是否相同？说明理由．