【38970】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 已知三阶矩阵 $B \neq 0$, 且 $B$ 的每一个列向量都是方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \text { 的解 } \\ 3 x_1+x_2-x_3=0\end{array}\right.$ （1）求 $\lambda$ 的值； （2）证明 $|B|=0$ ．

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【38969】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 设 $f^{\prime \prime}(x)<0, f(0)=0$ ，证明对任何 $x_1>0, x_2>0$ 有 $f\left(x_1+x_2\right)<f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$

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【38968】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{a x}$ 之通解，其中 $a$ 为常数．

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【38967】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 设 $f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，证明柯西不等式： $$ \left[\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^2 \leqslant\left[\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x\right]\left[\int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x\right] $$

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【38966】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$y \geqslant 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ ，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小。

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【38965】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t}{x^{p} \sin 2 x}=c(c \neq 0)$ ，求常数，$p, c$ ．

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【38964】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 计算 $\int_0^{+\infty} \frac{d x}{(x-1)^4 \sqrt{x^2-2 x}}$

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【38963】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 解答题 已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$

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【38962】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 填空题 设 $A$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_1$ 是二重特征值。对应有两个线性无关特征向量 $\xi_1=(1,2,3)^T, \xi_2=(-2,1,-1)^T$ ，则对应于另一个特征值 $\lambda_3$ 的特征向量是

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【38961】 【 2027年考研数学模拟试卷数学二(第一套)】 填空题 设三阶矩阵 $A, B$ 分别为$A=\left(\alpha^T, 2 \gamma_2^T, 2 \gamma_3^T\right)^T, B=\left(\beta^T, \gamma_2^T, \gamma_3^T\right)^T$ ，其中 $\alpha, \beta, \gamma_2, \gamma_3$ 均为 3 维行向鱼，且已知行列式 $|A|=16,|B|=$ 2 ，则行列式 $|A-B|=$

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