【40514】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 解答题 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准 $A 4$ 纸的宽度，得到以下 10 个数据 $x_i, 1 \leq i \leq 10, i \in \mathbf{Z}$（单位：毫米）： [img=/uploads/2026-06/1b4178.jpg][/img] （1）计算该组数据的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^2$ ； （2）考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ① 记 $T_i=\frac{\left|x_i-\bar{x}\right|}{s}$（其中 $s$ 为样本标准差， $1 \leq i \leq 10, i \in \mathbf{Z}$ ）； ② 若 $T_i>G_n$（其中 $n$ 为样本容量），则该数据 $x$ ，判断为无效数据，否则认为该数据有效． [img=/uploads/2026-06/ff0c97.jpg][/img] （i）求 $T_{10}$ ，并判断 $x_{10}$ 是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ii）求 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 中无效数据的个数，并说明理由．

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【40513】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $c=b \cos A+\frac{1}{2} a$ ． （1）求角 $B$ 的大小； （2）若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形． （i）求角 $A$ 的取值范围； （ii）设 $a=6$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围．

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【40512】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 解答题 已知正四棱锥 $P-A B C D, M, N$ 分别是 $B C, P D$ 的中点． [img=/uploads/2026-06/bd2048.jpg][/img] （1）证明：$C N / /$ 平面 $P A M$ ； （2）若四棱锥各棱长均为 2 ，求直线 $C N$ 与 $A M$ 所成角的余弦值．

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【40511】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 解答题 袋中有 5 个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为 1 ， 2 ，红球编号为 3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． （1）求至少一个是白球的概率； （2）设事件 $A$ 为＂第一次是白球＂，事件 $B$ 为＂两个小球的编号之和为 6 ＂，判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由。

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【40510】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 填空题 设 $O x, O y$ 是平面内的两条数轴，$\angle x O y=\theta(0<\theta<\pi), \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量．若 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O M}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标．已知 $\overrightarrow{O A}=(3,0), \overrightarrow{O B}=(1,1)$ ，对任意 $t \in \mathbf{R},|\overrightarrow{O A}-t \overrightarrow{O B}| \geq 2$ 恒成立，则 $\cos \theta$ 的取值范围为

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【40509】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 填空题 若复数 $z$ 满足 $|z-2+\mathrm{i}|=3$（i 为虚数单位），则 $|z|$ 的最大值为

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【40508】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 填空题 已知圆台的上底面半径和母线长均为 2 ，下底面半径为 3 ，则圆台的体积为

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【40507】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 多选题 如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 的中点，$P$ 是侧面 $B C C_1 B_1$ 内 （含边界）的一动点，且满足 $A_1 P / /$ 平面 $A E F$ ，则 [img=/uploads/2026-06/bc8176.jpg][/img]

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【40506】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 多选题 已知古典概型的样本空间 $\Omega$ 及事件 A 和事件 $B$ ，满足 $n(\Omega)=36, n(A)=12, n(B)=16, n(A \cup B)=24$ ，则

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【40505】 【 2024-2025学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题】 多选题 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了 200 名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则 [img=/uploads/2026-06/d68c42.jpg][/img]

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