【39468】 【 《复变函数与积分变换》期末考试模拟试卷第一套】 填空题 $-8 i$ 的三个单根分别为

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【39467】 【 《复变函数与积分变换》期末考试模拟试卷第一套】 填空题 $\ln (-1-3 \sqrt{i})$ 的模 $\_\_\_\_$ ．幅角 $\_\_\_\_$

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【39466】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 证明题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵的充分必要条件为存在 $n$ 阶正定矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}^2$ ．

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【39465】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 证明题 设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B}, r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})=n$ ．证明： $$ \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) . $$

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【39464】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 解答题 已知向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的两个基 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right] ; \\ & \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] . \end{aligned} $$ （1）求由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ； （2）已知向量 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，求 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．

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【39463】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 解答题 设线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1-x_2-2 x_3+3 x_4 & =0, \\ x_1-3 x_2-6 x_3+2 x_4 & =-1, \\ x_1+5 x_2+10 x_3-x_4 & =a, \\ 3 x_1+x_2+b x_3+4 x_4 & =1 . \end{aligned}\right. $$ 问：（1）$a, b$ 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．

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【39462】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 解答题 已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ，求正交变换 $\boldsymbol{x}= Q \boldsymbol{y}$ ，将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形，并写出正交变换 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$ ．

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【39461】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 解答题 已知 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda_1=\lambda_2=6$ 的特征向量 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] . $$ 试求：（1） $\boldsymbol{A}$ 的另一个特征值 $\lambda_3$ 及其特征向量； （2）矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

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【39460】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 解答题 设四阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足方程 $\left(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B}\right) \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{-1}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，其中 $$ \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] . $$

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【39459】 【 上海交通大学《线性代数4》期末考试真题试卷与解答】 解答题 计算 $$ D=\left|\begin{array}{ccccc} a+1 & 0 & 0 & 0 & a+2 \\ 0 & a+5 & 0 & a+6 & 0 \\ 0 & 0 & a+9 & 0 & 0 \\ 0 & a+7 & 0 & a+8 & 0 \\ a+3 & 0 & 0 & 0 & a+4 \end{array}\right| $$

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