【39448】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 已知直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 经过曲面 $z=x^2+y^2$ 上点 $(1,-2,5)$ 处的切平面，求 $a, b$ 的值．

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【39447】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 设 $f(u, v)$ 是可微函数，常数 $a, b, c$ 不全为零，试证明曲面 $f(c x-a z, c y-b z)=0$ 上各点的切平面均平行于一个定向量．

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【39446】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程及法平面方程．

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【39445】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 求函数 $u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$ 在点 $M(x, y, z)$ 处沿该点向径 $\vec{r}=\overrightarrow{O M}$ 方向的方向导数，若对所有的点 $M$ 均有 $\left.\frac{\partial u}{\partial r}\right|_M=|\nabla u(M)|$ ，问 $a, b, c$ 之间有何关系？

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【39444】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 设在 $x O y$ 平面上各点的温度 $T$ 与点的位置间的关系为 $T=4 x^2+9 y^2$ ，试求 ： （1）在点 $P(9,4)$ 处沿方向角为 $\alpha=\frac{5 \pi}{6}, \beta=\frac{2 \pi}{3}$ 的方向 $\vec{l}$ 的温度变化率； （2）在点 $P$ 处沿什么方向温度变化率取得最大值，并求此最大值．

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【39443】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 求函数 $u=x+y+z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处，沿球面在该点的外法线的方向的方向导数．

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【39442】 【 同济大学习题辅导《方向导数、梯度与微分学应用》】 解答题 求函数 $z=1-\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)$ 在点 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数．

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【39441】 【 多元函数微分法及其应用--测验卷】 解答题 形状为椭球 $4 x^2+y^2+4 z^2 \leq 16$ 的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热， 1 ，后在探测器的点 $(x, y, z)$ 处的温度 $T=8 x^2+4 y z-16 z+600$ ，求探测器表面最热的点

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【39440】 【 多元函数微分法及其应用--测验卷】 解答题 抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求原点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值．

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【39439】 【 多元函数微分法及其应用--测验卷】 解答题 在平面 $x O y$ 上求一点，使它到直线 $x=0, y=0$ 及 $x+2 y-16=0$ 的距离平方之和为最小。

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