【29770】 【 2025北京大学强基计划数学测试(微信公众号张云帆)】 解答题 满足 $\overline{a b}=a^2+b^3$ 的两位数的个数．

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【29769】 【 2025北京大学强基计划数学测试(微信公众号张云帆)】 解答题 求 $\sqrt{x^2-2 x+10}-\sqrt{x^2-4 x+5}$ 的值域．

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【29768】 【 2025北京大学强基计划数学测试(微信公众号张云帆)】 解答题 求 $\sqrt{3-2 x}+\sqrt{3 x}$ 的最大值与最小值之和．

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【29767】 【 2025北京大学强基计划数学测试(微信公众号张云帆)】 解答题 求椭圆 $x^2-2 x y+2 y^2=4$ 的面积．

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【29766】 【 2025北京大学强基计划数学测试(微信公众号张云帆)】 解答题 已知 $x^2-y^2=1$ ，求 $\frac{1}{x^2}-\frac{y}{x}$ 的取值范围．

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【29765】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 证明题 设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a<b)$ 上二阶可导，满足： $$ f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0 $$ 且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明： $$ |f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b] . $$

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【29764】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定的隐函数，试求 $z=z(x, y)$ 的极值．

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【29763】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 （1）设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，计算方向导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial \vec{l}}$ ，其中 $\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \alpha \in[0,2 \pi)$ 为单位向量． （2）若一个二元函数 $g(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极小值，那么 $t=0$ 是否一定是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$ 的极小值点（其中 $\alpha$ 如（1）中所示），为什么？ （3）若对任意 $\alpha \in[0,2 \pi), t=0$ 是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$的极小值点，那么 $\left(x_0, y_0\right)$ 是否一定是 $g(x, y)$ 的极小值点，为什么？

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【29762】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．

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【29761】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 本题只需要给出结果，不需要证明． （1）设平面 $\Sigma$ 过点 $P_0$ ，其法向量为 $\vec{n}, P_1$ 是平面 $\Sigma$ 外一点，请用 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 和 $\vec{n}$表达出点 $P_1$ 到平面 $\Sigma$ 的距离． （2）设直线 $L$ 过点 $P_0$ ，其方向矢量为 $\vec{\tau}, P_1$ 是 $L$ 外一点，请用 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 和 $\vec{\tau}$ 表达出点 $P_1$ 到 $L$ 的距离． （3）设异面直线 $L_1, L_2$ 的方向矢量分别为 $\overrightarrow{\tau_1}, \overrightarrow{\tau_2}$ ，若已知点 $P_1$ 在 $L_1$ 上，点 $P_2$在 $L_2$ 上，请用 $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 和 $\overrightarrow{\tau_1}, \overrightarrow{\tau_2}$ 表达出 $L_1, L_2$ 间的距离公式．

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