【29760】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 证明题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导，满足：（1）$f(a)=f(b)=0$ ；（2） $\exists c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)<0$ 。

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【29759】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 写出 $f(x)=\cos (2 x) \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式．

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【29758】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

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【29757】 【 2025年北京大学《高等数学A》第一学期期末考试试题（网友解答）】 解答题 计算极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^2+y^2\right)^{x^2}$ ．

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【29756】 【 第八讲 假设检验】 填空题 设 $X$ 是连续型随机变量，$U$ 是对 $X$ 的（一次）观测值；关于其概率密度 $f(x)$ 有如下假设： $$ H_0: f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2, \\ 0, \quad \text { 其他 }, \end{array} \quad H_1: f(x)= \begin{cases}\frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}\right. $$

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【29755】 【 第八讲 假设检验】 填空题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为 $X$ 的简单随机样本，其中 $\mu, \sigma^2$ 未知， $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ， $Q^2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，则假设 $H_0: \mu=0$ 的 $t$ 检验统计量是 $T=$

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【29754】 【 第八讲 假设检验】 单选题 在假设检验中，原假设为 $H_0$ ，备择假设为 $H_1^{\prime}$ ，则（ ）

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【29753】 【 第七讲 参数估计】 解答题 设 $0.25,4.00,1.25,0.80$ 是总体 $X$ 的简单随机样本值，已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ． （1）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ，并记 $E(X)=b$ ； （2）求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间（ $u_{0.025}=1.96$ ）； （3）利用上述结果求 $b$ 的置信度为 0.95 的置信区间．

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【29752】 【 第七讲 参数估计】 解答题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \sigma^2$ 已知，问需抽取容量 $n$ 为多大的样本，才能使 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ ，且置信区间的长度不大于 $L$ ？

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【29751】 【 第七讲 参数估计】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda^2 x e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. $$ 其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求参数 $\lambda$ 的矩估计量； （2）求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量．

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