【30050】 【 闭区间套序列、有限子覆盖】 证明题 试作由有理端点作成的区间列： $$ \left[a_1, b_1\right] \supset\left[a_2, b_2\right] \supset \cdots\left[a_n, b_n\right] \supset \cdots, $$ 使得交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}\left[a_n, b_n\right]$ 不含有理数。

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【30049】 【 闭区间套序列、有限子覆盖】 证明题 设 $f(x)$ 定义在 $(a, b)$ 上，$a<c<d<b$ ．若对任意的 $x \in[c, d]$ ，存在正数 $M_x$ 以及 $\delta_x\left(\delta_x<\min \{c-a, b-d\}\right)$ ，使得 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in\left(x-\delta_x, x+\delta_x\right)$ ，有 $$ \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant M_x\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| \quad \text { (点点 Lip1). } $$ 则存在正数 $M$ ，对一切 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[c, d]$ 有 $$ \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant M\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| \quad \text { (整体 Lip1). } $$

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【30048】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 设 $f(x)$ 定义在 $[a, b]$ 上。若对任意的 $t \in[a, b]$ ，均存在极限 $\lim _{x \rightarrow t} f(x)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

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【30047】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 试求下述数列极限： （1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)$ ． （2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k a}{n^2}$ ．

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【30046】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 试证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p \sin (\sqrt{2}+1)^n \pi=0(p \geqslant 0)$ ．

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【30045】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n}^{2 n} \sin \frac{\pi}{k}$ ．

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【30044】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 试证明不等式 $$ \left(1-2 x^n+x^{n+1}\right)^n<\left(1-x^n\right)^{n+1} \quad\left(n \geqslant 2,0<x<\frac{n}{n+1}\right) . $$

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【30043】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 （1） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+a_n}\right)^n\left(a_n=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)\right)$ 。 （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{1}{n}-\arctan \frac{1}{n+1}\right)$ ．

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【30042】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n(a>0, b>0, c>0)$.

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【30041】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 (3) $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\right)^{2 n-2}$. (4) $I=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x^{1 / n}-x^{1 / 2 n}\right)(x>0)$.

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