【30060】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 内二阶连续可导，证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$

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【30059】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x-x \cos x}$ ．

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【30058】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $$ f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)] $$

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【30057】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b]$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=1$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $e^{\eta-\xi}\left[f^{\prime}(\eta)+f(\eta)\right]=1$ 成立．

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【30056】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 $0<a<b$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $a \ln b-b \ln a=\left(a b^2-b a^2\right) \frac{1-\ln \xi}{\xi^2}$ ．

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【30055】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ．

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【30054】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 0,1 上可导，$f(1)=C$ ，证明：在 0,1 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$.

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【30053】 【 新文道 高等数学第三讲 中值定理与导数】 证明题 若 $f(x)=\ln \cos x$ 是定义在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{5}\right]$ 上的函数，证明存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．

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【30052】 【 闭区间套序列、有限子覆盖】 证明题 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界，试证明存在 $x_0 \in[a, b]$ ，对任意的 $\delta>0$ ，使得 $f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 上无界。

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【30051】 【 闭区间套序列、有限子覆盖】 证明题 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上不是常数（函数），则存在 $x_0 \in(a, b)$ 以及 $D>0$ ，使得对任意的 $\delta>0$ ，存在 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) \cap(a, b)$ ，有 $$ \left|\left[f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right] /\left(x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant l . $$

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