【30040】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 (1) $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( e ^{-1}\right) e ^{1 / n}}{n\left( e ^{1 / n}-1\right)}$. (2) $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\alpha^2}{2 n^2}\right)^{-n}$.

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【30039】 【 函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理】 解答题 设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-a, a)$ 上，且有 $$ \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant\left|g\left(x^{\prime}\right)-g\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \quad\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(-a, a)\right) . $$ 若存在极限 $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)$ ，则存在极限 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ．

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【30038】 【 定积分的分部积分法】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上可导，且 $f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1$ ．证明： $$ 1 \leq \int_0^2 f(x) d x \leq 3 $$

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【30037】 【 定积分的分部积分法】 解答题 已知 $f(\pi)=2, \int_0^\pi\left[f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right] \sin x d x=5$ ，求 $f(0)$ ．

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【30036】 【 定积分的分部积分法】 解答题 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sec ^2 x}{(1+\tan x)^2} d x$ ．

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【30035】 【 定积分的分部积分法】 解答题 $\int_0^3 \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} d x$ 。

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【30034】 【 新文道 高等数学第二讲 导数与微分】 解答题 已知 $y=1-x e^y$ ，试求 $d y$ ．

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【30033】 【 新文道 高等数学第二讲 导数与微分】 解答题 求函数 $y=e^{-x} \cos (3-x)$ 的微分．

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【30032】 【 新文道 高等数学第二讲 导数与微分】 解答题 $y=\sqrt{\frac{x-1}{x(x+2)}}$ 求 $y^{\prime}$ ．

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【30031】 【 新文道 高等数学第二讲 导数与微分】 解答题 $ y=(\sin x)^{\cos x}$ ，求 $y^{\prime}$ ．

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