填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是标准正态总体的样本, 若 $k\left(2 X_1+X_2\right)^2+X_3^2 \sim \chi^2(2)$, 则 $k=$
知某门课程考生分数 $X$ 服从正态分布 $N\left(75,10^2\right)$, 若把考生分数在后 $10 \%$ 的评为 $C$ 级, 则 $C$ 级的分数线为 ________ 分. (结果四舍五入, 已知 $\Phi(1.285)=0.9$, 其中 $\Phi(x)$ 为正态分布函数)
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.
甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮, 甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3 和 0.4 , 则飞机至少被击中一炮的概率为?
在针织品漂白工艺过程中, 需要考察温度对针织品断裂强度的影响。假设在 80 摄氏度时, 针织品的断裂强度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 现获得来自该总体的一个简单样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$, 其样本值为: $1.3,1.2,1.2,1.5,1.1$
(1) 求 $\mu$ 的置信水平为 0.9 的置信区间; (2) 如果 $\sigma=0.5$ 时, 认为该批次针织品的断裂强度是稳定的, 在显著性水平为 0.05 时, 通过该样本值判断针织品的断裂强度是否稳定.
$\left(\right.$ 上分位数表 $t_{0.05}(4)=2.13, t_{0.05}(5)=2.01, \chi_{0.05}^2(4)=9.5, \chi_{0.95}^2(4)=0.7, \chi_{0.025}^2(4)=$ $\left.11.1, \chi_{0.975}^2(4)=0.5\right)$ 。
已知随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立, $X_1$ 与 $X_2$ 都在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布, $X_3$ 与 $X_4$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的 $0-1$ 分布, 记 $Y=X_1+X_2+X_3 X_4$, 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 及概率密度 $f_Y(y)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}} \quad(-\infty < x < +\infty, \lambda>0) .
$$
(I) 求参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_1$;
(II) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}_2$;
(III) 判断 $\hat{\lambda}_2$ 是否为 $\lambda$ 的无偏估计量, 并说明理由.
假设测量的随机误差 $X \sim N\left(0,10^2\right)$, 求在 100 次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 $\alpha$, 并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。注: $\Phi(1.96)=0.975$, 另附表
口袋里有 $N$ 个大小相同重量相等的球, 每个球上写上号码 $k, k=1,2, \cdots, N$, 从中任取一个球,设其号码为 $X$, 又 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \leqslant N)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值, 将 $E \bar{X}, D \bar{X}$ 表示为 $N$ 的函数.
假设某咖啡店在任何长为 $t$ (单位:小时) 的时间内卖出的咖啡杯数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布. 若一天内卖出 100 杯咖啡，则当天该店净利润大于 0.
(I) 求相继卖出两杯咖啡之间的时间间隔 $T_1$ 的概率密度;
（II）记一天中，从开始营业到开始盈利的时间为 $T_2$ ，求 $T_2$ 的概率密度；
(III) 已知 $\lambda=20$, 问长期来看, 若要盈利, 则该咖啡店需平均每天至少营业多少小时?
$$
\left(\int_0^{+\infty} t^n e^{-t} d t=n!\right)
$$
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$.
(I) 条件概率密度函数 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ 及条件概率 $P\left\{\left.Y>\frac{1}{2} \right\rvert\, X=\frac{1}{3}\right\}$;
(II) $Z=Y-2 X$ 的概率密度函数;
(II) 协方差 $\operatorname{Cov}(X, Z)$.
将两信息分别编码 $M$ 和 $N$ 传送出去, 接收站收到时, $M$ 被误收作 $N$ 的概率为 0.02 , 而 $N$ 被误收为 $M$的概率为 0.01 . 信息 $M$ 与信息 $N$ 传送的频繁程度为 $2: 1$. 若接收站收到的信息是 $M$, 问原发信息是 $M$ 的概率是多少? (必须写出题设、已知的概率和所用的概率公式, 并计算结果 (用分数表示))