假设某咖啡店在任何长为 $t$ (单位:小时) 的时间内卖出的咖啡杯数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布. 若一天内卖出 100 杯咖啡，则当天该店净利润大于 0.
(I) 求相继卖出两杯咖啡之间的时间间隔 $T_1$ 的概率密度;
（II）记一天中，从开始营业到开始盈利的时间为 $T_2$ ，求 $T_2$ 的概率密度；
(III) 已知 $\lambda=20$, 问长期来看, 若要盈利, 则该咖啡店需平均每天至少营业多少小时?

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\left(\int_0^{+\infty} t^n e^{-t} d t=n!\right)
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