一、判断题 （共 10 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵, $B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $R(A) < R(A B)$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
奇数阶反对称矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若存在正整数 $k$ 使 $A^k=O$, 则 $A$ 的特征值只能是 0 .
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A, B$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵, 若 $E-A B$ 可逆, 则 $E-B A$ 也可逆, 其中 $E$ 为单位阵.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则 $A$ 为半正定矩阵的充要必要条件是 $A$ 的所有主子式都不小于零.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 为整系数多项式, $a_n \neq 0$, 若有理数 $\frac{q}{p}$ 是 $f(x)$ 的根, 则必有 $p \mid a_0$, 且 $q \mid a_n$, 其中 $p, q$ 为互素的整数.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 则存在 $V$ 的真子空间 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ ( $s$ 为正整数), 使得 $V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A(\lambda), B(\lambda)$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则 $A(\lambda), B(\lambda)$ 等价的充分必要条件为 $A(\lambda), B(\lambda)$ 有相同的初等因子组.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误