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微积分测试题

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是连续函数, 且

F (x) = \int_{x}^{e^{- x}} f (t) d t

, 则

F^{'} (x)

等于

A.

- e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

B.

- e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

C.

e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

D.

e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

\int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{3} x) d x =

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3. 计算

\int x \sin x d x

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y = x \ln (e + \frac{1}{x^{2}})

的斜渐近线为。

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5. 求

lim_{x \to 0} (1 + 5 x)^{\frac{1}{\sin x}}

;

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\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{| x |}{1 + \sin x} d x =

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lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{3} + 9} - 6}{2 - \sqrt{x^{3} - 23}} =

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8. 设

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}

, 则

f^{(n)} (0) =

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9. (1)

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{2 x - 1} =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 计算

\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{e^{x} - 1} d x

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11. 求

\int \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}} d x

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12. 已知函数

f (x) = \frac{x^{3}}{(1 + x)^{2}} + 3

, 请列表给出: 函数

f (x)

的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数

f (x)

的所有渐近线.

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13.

lim_{x \to \infty} \frac{\ln \sqrt{\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}}}{\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x} - 1} =

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14. 计算:

lim_{x \to 0} \frac{\int_{x}^{0} \ln (1 + t) d t}{x^{2}}

。

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15. 设

lim_{x \to 0} \frac{e^{a x} - \frac{1 + b x}{1 + 2 x}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}} = - 4

, 求

a, b

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