单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜斩近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t|, \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续， $f^{\prime}(0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在， $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $\boldsymbol{n}$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $A B C=O, E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵.记矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ B C & E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}A B & C \\ O & E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}E & A B \\ A B & O\end{array}\right)$ 的秩分别为 $r_1, r_2, r_3$ ，则( )
$\text{A.}$ $r_1 \leq r_2 \leq r_3$
$\text{B.}$ $r_1 \leq r_3 \leq r_2$
$\text{C.}$ $r_3 \leq r_2 \leq r_1$
$\text{D.}$ $r_2 \leq r_1 \leq r_3$
下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ( )
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\gamma=$ ( )
$\text{A.}$ $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{B.}$ $k\left(\begin{array}{c}\mathbf{3} \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{C.}$ $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{D.}$ $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\boldsymbol{E}(|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}|)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\mathrm{e}}$
$\text{D.}$ 1
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体的 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $Y_1, Y_2, \cdots Y_m$ 为来自总体的 $N\left(\mu_2, 2 \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，记
$$
\begin{gathered}
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m Y_i, \\
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2
\end{gathered}
$$
则( )
$\text{A.}$ $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$
$\text{B.}$ $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
$\text{C.}$ $\frac{2 S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$
$\text{D.}$ $\frac{2 S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
设 $X_1, X_2$ 为来自总体 $\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma>0)$ 是末知参数，若 $\hat{\sigma}=a\left|X_1-X_2\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\pi}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2 \pi}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$
曲面 $z=x+2 y+\ln \left(\overline{1}+x^2+y^2\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$.若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=$
已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, $\gamma=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$. 若 $\gamma^T \alpha_1=\beta^T \alpha_i(i=1,2,3)$ ，则 $k_1^2+k_2^2+k_3^2=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right), Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$, 则 $P\{X=Y\}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,2)$ ，该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(1) 求函数 $y(x)$ 的表达式；
(2) 求函数 $f(x)=\int_1^x y(t) \mathrm{d} t$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值.
求函数 $f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-x^3\right)$ 的极值.
设空间有界区域 $\Omega$ 由柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=0$和 $x+z=1$ 围成. $\Sigma$ 为 $\Omega$ 的边界曲面的外侧. 计算曲面积分
$$
I=\oint_{\Sigma} 2 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 y z \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
已知二次型
$$
\begin{gathered}
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3 \\
g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2 y_2 y_3
\end{gathered}
$$
(1) 求可逆变换 $x=P y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化成 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)$ ；
(2) 是否存在正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化成 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)$ ?
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right), & x^2+y^2 \leq 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求:
(1) 求 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 的协方差与方差;
(2) $X$ 与 $Y$ 是否相互独立?
(3) 求 $Z=X^2+Y^2$ 的概率密度.