单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$,
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
设某产品的成本函数 $C(Q)$ 可导，其中 $Q$ 为产量，若产量为 $Q_0$ 时平均成本最小，则
$\text{A.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=0$
$\text{B.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=C\left(Q_0\right)$
$\text{C.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=Q_0 C\left(Q_0\right)$
$\text{D.}$ $Q_0 C^{\prime}\left(Q_0\right)=C\left(Q_0\right)$
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
设 $f(x)$ 为某分布的概率密度函数，
$$
f(1+x)=f(1-x) ， \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0.6 ，
$$
则 $P\{X < 0\}=$
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.4
$\text{D.}$ 0.6
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体 $X-N\left(\mu, \sigma^2\right)$ $(\sigma>0)$ 的简单随机样本，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，
$$
S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}, S^*=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2} ，
$$
则
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}-t(n)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}-t(n-1)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
$\int e^x \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~d} x=$
差分方程 $\Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为
设函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x),
$$
且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关向量组. 若
$$
\begin{aligned}
& A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2 ， A \alpha_2=\alpha_2+\alpha_3 ， A \alpha_3=\alpha_1+\alpha_3 ， \\
& \text { 则 }|A|=
\end{aligned}
$$
已知事件 $A, B, C$ 相互独立，且
$$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2} ，
$$
则 $P(A C \mid A \cup B)=$ $\qquad$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) e^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $a, b$.
求 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $y=\sqrt{3\left(1-x^2\right)}$ 与 $y=\sqrt{3} x$ 和 $y$ 轴围成.
将长为 2 m 的铁丝分成三段，分别围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值，如果存在，求出最小值.
已知 $\cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n(-1 < x < 1)$ ，求 $a_n$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$.
(1)求 $a$ ；
(2)求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
已知随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为
$$
P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2} .
$$
$Y$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松分布， $Z=X Y$.
(1)求 $\operatorname{cov}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z})$ ；
(2)求 $Z$ 的分布律.
已知总体 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty ，
$$
$\sigma$ 为大于 0 的未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$.
(1)求 $\hat{\sigma}$ ；
(2)求 $E(\hat{\sigma}) ， D(\hat{\sigma})$.