单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ 0
函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y=e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{B.}$ $a x\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{C.}$ $x\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)>0, g(0) < 0$ 且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x \mathrm{~d} x ， J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x \mathrm{~d} x$ ，$K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再交换 $B$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， $P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A=$
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 是 4 阶矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $A x=0$ 的一个基础解系，则 $A^* x=0$的基础解系可为
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=$
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$ ，则
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=
$$
设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$ ，圆 $x^2+y^2=2 y$ 及 $y$ 轴围成，则二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ $+2 x_2 x_3$ ，则 $f$ 的正惯性指数为 $\qquad$ .
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $F(x)=\frac{\int_0^x \ln \left(1+t^2\right) \mathrm{d} t}{x^a}$ ，设
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=0 ，
$$
试求 $a$ 的取值范围.
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3} t^3+t+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} t^3-t+\frac{1}{3}\end{array}\right.$ 确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点.
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ，求
$$
\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}
$$
设函数 $y(x)$ 具有二阶导数，且曲线 $l: y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点，记 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x, y)$ 处切线的倾角，若 $\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ，求 $y(x)$ 的表达式.
(1) 证明: 对任意的正整数 $n$ ，都有
$$
\frac{1}{n+1} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \text {. }
$$
(2) 设 $a_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
一容器的内侧是由曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，其中曲线 $C$ 由 $x^2+y^2=2 y\left(y \geq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x^2+y^2=1\left(y \leq \frac{1}{2}\right)$连接而成的.
(1) 求容器的容积；
（2）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位： m ，重力加速度为 $g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，水的密度为 $10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ).
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y)=0$ ， $f(x, 1)=0 ， \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} ，
$$
计算二重积分
$$
I=\iint_D x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设向量组 $\alpha_1=(1,0,1)^T ， \alpha_2=(0,1,1)^T ， \alpha_3=(1,3,5)^T$不能由向量组
$$
\beta_1=(1,1,1)^T, \quad \beta_2=(1,2,3)^T, \quad \beta_3=(3,4, a)^T
$$
线性表示.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
设 $A$ 为三阶实对称矩阵， $A$ 的秩 $r(A)=2$ ，且
$$
A\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
（1）求 $A$ 的特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.