一、单选题 (共 14 题 ),每题只有一个选项正确
1. 设全集 , 集合 , 集合 , 则
2. 如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆,那么实数 的取值范围是
3. 极坐标方程 所表示的曲线是
双曲线
椭圆
抛物线
圆
4. 设 是第二象限的角, 则必有
5. 某种细菌在培养过程中, 每 20 分钟分裂一次 (一个分裂为两个). 经过 3 小时, 这种细菌由 1 个可繁殖成
511 个
512 个
1023 个
1024 个
6. 在下列函数中, 以 为周期的函数是
7. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4 , 高为 2 , 则其体积为
8. 设 和 为双曲线 的两个焦点, 点 在双曲线上且满足 ,则 的面积是
1
2
9. 如果复数 满足 , 那么 的最小值是
1
2
10. 有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担, 乙、丙各需 1 人承担. 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务, 不同的选法共有
1260 种
2025 种
2520 种
5040 种
11. 对于直线 、 和平面 、 的一个充分条件是
,
12. 已知过球面上 、、 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 , 则球面面积是
13. 函数 的值域是
14. 定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和, 如果 , 那么
二、填空题 (共 5 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
15. 在 的展开式中, 的系数是 . (用数字作答)
16. 抛物线 的准线方程是 , 圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是
17. 设圆锥底面圆周上两点 、 间的距离为 2 , 圆锥顶点到直线 的距离为 , 和圆锥的轴的距离为 1 , 则该圆锥的体积为
18. 在测量某物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使得 次测量分别得到 , , 共 个数据, 我们规定所测量物理量的 “最佳近似值” 是这样一个量: 与其他近似值比较, 与各数据的差的平方和最小. 依此规定, 从 推出的
19. 已知 , 则 的值是
三、解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
20. 已知 .
(1) 设 , 求 的三角形式;
(2) 如果 , 求实数 的值.
21. 已知函数 . 若 , 且 , 证明
22. 如图, 已知
是正三棱柱,
是
中点.
(1) 证明
平面
;
(2) 假设
, 求以
为棱,
与
为面的二面角
的度数.
23. 已知直线 1 过坐标原点, 抛物线
顶点在原点, 焦点在
轴正半轴上. 若点
和点
关于
的对称点都在
上,求直线
和拋物线
的方程.
24. 设 是正数组成的数列, 其前 项和为 , 并且对于所有的自然数 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项.
(1) 写出数列 的前 3 项;
(2) 求数列 的通项公式 (写出推证过程);
(3) 令 , 求 .
25. 求函数 的最小值.